Окружность с центром O1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD и не имеет общих точек с прямой CD. Окружность с центром O2 касается сторон BC,CD и AD и не имеет общих точек с прямой AB. а) Докажите, что прямая O1O2 параллельна основанию трапеции ABCD. б) Найдите длину отрезка O1O2, если AB=10,BC=15,CD=12,AD=19.
Решение
a) Так как AO1,BO1,CO2 и DO2 -- биссектрисы углов A,B,C и D трапеции ABCD соответственно, то точки O1 и O2 равноудалены от сторон BC и AD. То есть они лежат на средней линии трапеции, следовательно, O1O2∥AD∥BC, ч.т.д.
б) Пусть P,Q,R -- точки касания окружности с центром O1 со сторонами AB,BC и AD соответственно, а точки K,L,M -- точки касания окружности с центром O2 со сторонами BC,CD и AD соответственно.
Тогда AP=AR=x,BP=BQ=y,CK=CL=z,LD=DM=t как отрезки касательных, проведённых из одной точки.
O1R,O1Q,O2M и O2K -- радиусы, проведённые в точки касания, тогда в силу того, что O1O2∥AD∥BC, то O1QKO2 и O1RMO2 -- прямоугольники, O1O2=QK=RM=f.
Получаем систему уравнений:
⎩⎨⎧x+y=10,y+z+f=15,z+t=12,x+t+f=19. Сложив первое и третье уравнения системы, а также второе и четвёртое, получаем:
{x+y+z+t=22,x+y+z+t+2f=34;2f=12,f=6. \textbf{Ответ:} 6.
