Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=x^{2} - 8 x - 4 \left|{x - 3}\right| + 15.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x-3=0 \Rightarrow x=3

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<3

, тогда

|x-3|=-(x-3)

.
Получаем

y=x^{2} - 4 x + 3

.

Случай

2

x\geqslant 3

, тогда

|x-3|=x-3

.
Получаем

y=x^{2} - 12 x + 27

.

Таким образом:

y=\begin{cases}x^{2} - 4 x + 3, & x<3,\\x^{2} - 12 x + 27, & x\geqslant 3.\end{cases}

В граничной точке

x=3

проверим значения обеих формул:

y_1(3)=3^{2} - 4\cdot 3 + 3=0,\qquad y_2(3)=3^{2} - 12\cdot 3 + 27=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(3; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=x^{2} - 4 x + 3

имеем

a=1

b=-4

c=3

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot(1)}=2.

y_0=1\cdot(2)^2-4\cdot(2)+3=-1.

Следовательно, вершина имеет координаты

(2; -1)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=x^{2} - 12 x + 27

имеем

a=1

b=-12

c=27

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-12}{2\cdot(1)}=6.

y_0=1\cdot(6)^2-12\cdot(6)+27=-9.

Следовательно, вершина имеет координаты

(6; -9)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{-1\} \cup\{0\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи