Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{(x^{2}+1)(x-2)}{2-x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Функция определена при

x\neq 2

.

Вынесем минус за скобки в знаменателе и сократим одинаковые множители

(x-2)

y=\dfrac{(x^{2}+1)(x-2)}{2-x}=\dfrac{(x^{2}+1)(x-2)}{-(x-2)}=-\dfrac{(x^{2}+1)(x-2)}{(x-2)}=-(x^{2}+1)=- x^{2} - 1, \qquad x\neq 2.

Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим

x=2

в упрощённую формулу:

y(2)=-(2)^2-1=-5.

Следовательно, выколотая точка:

(2; -5)

.

Для параболы

y=- x^{2} - 1

имеем

a=-1

b=0

c=-1

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2\cdot(-1)}=0.

y_0=-1\cdot(0)^2+0\cdot(0)-1=-1.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0; -1)

.

Таблица значений для

y=- x^{2} - 1

(с учетом выколотых точек):

График функции:

Чтобы график функции имел одну общую точку с прямой

y=kx

, нужно, чтобы прямая проходила через выколотую точку. Подставим координаты выколотой точки

(2; -5)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

-5=k\cdot 2;

k=-2{,}5.

Кроме этого, прямая

y=kx

имеет с параболой ровно одну общую точку, если она касается параболы. Найдём такие значения

k

- x^{2} - 1=kx;

- k x - x^{2} - 1=0.

Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

D=k^{2} - 4=0;

k=-2\quad\text{или}\quad k=2.

Таким образом, ровно одна общая точка получается в случае прохождения через выколотую точку и в случаях касания параболы.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

k \in \{-2{,}5\} \cup \{-2\} \cup\{2\}

Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи