Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{7 x - 10}{7 x^{2} - 10 x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Найдём нули знаменателя. Вынесем

x

за скобки:

7 x^{2} - 10 x=x(7 x - 10).

Поэтому

x(7 x - 10)=0;\qquad x=0\quad\text{или}\quad 7 x - 10=0.

Из второго уравнения получаем

x=\frac{10}{7}

. Следовательно, функция определена при

x\neq 0

x\neq \frac{10}{7}

.

Сократим одинаковые множители

(7 x - 10)

y=\dfrac{7 x - 10}{x(7 x - 10)}=\dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим

x=\frac{10}{7}

в упрощённую формулу:

y\left(\frac{10}{7}\right)=\dfrac{1}{\frac{10}{7}}=0{,}7.

Следовательно, выколотая точка:

(\frac{10}{7}; 0{,}7)

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=0

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=\dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

График функции:

Чтобы график функции имел одну общую точку с прямой

y=kx

, нужно, чтобы прямая проходила через выколотую точку. Подставим координаты выколотой точки

(\frac{10}{7}; 0{,}7)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

0{,}7=k\cdot \frac{10}{7};

k=\frac{49}{100}.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

k \in \{0{,}49\}

Похожие задачи