Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{9 x + 1}{9 x^{2} + x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Найдём нули знаменателя. Вынесем

x

за скобки:

9 x^{2} + x=x(9 x + 1).

Поэтому

x(9 x + 1)=0;\qquad x=0\quad\text{или}\quad 9 x + 1=0.

Из второго уравнения получаем

x=\frac{-1}{9}

. Следовательно, функция определена при

x\neq 0

x\neq \frac{-1}{9}

.

Сократим одинаковые множители

(9 x + 1)

y=\dfrac{9 x + 1}{x(9 x + 1)}=\dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим

x=\frac{-1}{9}

в упрощённую формулу:

y\left(\frac{-1}{9}\right)=\dfrac{1}{\frac{-1}{9}}=-9.

Следовательно, выколотая точка:

(\frac{-1}{9}; -9)

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=0

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=\dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

График функции:

Чтобы график функции имел одну общую точку с прямой

y=kx

, нужно, чтобы прямая проходила через выколотую точку. Подставим координаты выколотой точки

(\frac{-1}{9}; -9)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

-9=k\cdot \frac{-1}{9};

k=81.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

k \in \{81\}

Похожие задачи