Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{6 x + 7}{6 x^{2} + 7 x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Найдём нули знаменателя. Вынесем

x

за скобки:

6 x^{2} + 7 x=x(6 x + 7).

Поэтому

x(6 x + 7)=0;\qquad x=0\quad\text{или}\quad 6 x + 7=0.

Из второго уравнения получаем

x=\frac{-7}{6}

. Следовательно, функция определена при

x\neq 0

x\neq \frac{-7}{6}

.

Сократим одинаковые множители

(6 x + 7)

y=\dfrac{6 x + 7}{x(6 x + 7)}=\dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим

x=\frac{-7}{6}

в упрощённую формулу:

y\left(\frac{-7}{6}\right)=\dfrac{1}{\frac{-7}{6}}=\frac{-6}{7}.

Следовательно, выколотая точка:

(\frac{-7}{6}; \frac{-6}{7})

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=0

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=\dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

График функции:

Чтобы график функции имел одну общую точку с прямой

y=kx

, нужно, чтобы прямая проходила через выколотую точку. Подставим координаты выколотой точки

(\frac{-7}{6}; \frac{-6}{7})

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

\frac{-6}{7}=k\cdot \frac{-7}{6};

k=\frac{36}{49}.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

k \in \{\frac{36}{49}\}

Похожие задачи