Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{5 x - 8}{5 x^{2} - 8 x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Найдём нули знаменателя. Вынесем

x

за скобки:

5 x^{2} - 8 x=x(5 x - 8).

Поэтому

x(5 x - 8)=0;\qquad x=0\quad\text{или}\quad 5 x - 8=0.

Из второго уравнения получаем

x=1{,}6

. Следовательно, функция определена при

x\neq 0

x\neq 1{,}6

.

Сократим одинаковые множители

(5 x - 8)

y=\dfrac{5 x - 8}{x(5 x - 8)}=\dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим

x=1{,}6

в упрощённую формулу:

y\left(1{,}6\right)=\dfrac{1}{1{,}6}=0{,}625.

Следовательно, выколотая точка:

(1{,}6; 0{,}625)

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=0

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=\dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

График функции:

Чтобы график функции имел одну общую точку с прямой

y=kx

, нужно, чтобы прямая проходила через выколотую точку. Подставим координаты выколотой точки

(1{,}6; 0{,}625)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

0{,}625=k\cdot 1{,}6;

k=\frac{25}{64}.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

k \in \{\frac{25}{64}\}

Похожие задачи