ABC равносторонний треугольник. На стороне AC выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает сторону AB в точке E, а сторону BC в точке K.
а) Докажите, что угол AEM равен углу CMK.
б) Найти отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM:CM=1:4.
Решение
а) Обозначим ∠KMC=α.
Так как точки K и E лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BM, то
KB=KM,EB=EM.
Значит, △BKM и △BEM --- равнобедренные.
Тогда
∠KMB=∠KBM,∠BME=∠MBE.
Рассмотрим угол ∠KME. Имеем
∠KME=∠KMB+∠BME.
Заменим эти углы равными:
∠KME=∠KBM+∠MBE=∠KBE.
Так как △ABC равносторонний, то ∠KBE=60∘.
Следовательно, ∠KME=60∘.
Теперь найдём угол ∠EMA. ∠EMA=180∘−∠KME−∠CMK=180∘−60∘−α=120∘−α.
Далее рассмотрим △AEM.
Так как △ABC равносторонний, то ∠EAM=60∘.
Тогда
∠MEA=180∘−∠EAM−∠EMA=180∘−60∘−(120∘−α)=α.
Но α=∠KMC, значит,
∠MEA=∠KMC.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть AM=x.
Так как AM:CM=1:4, то CM=4x.
Следовательно,
AC=AM+CM=5x.
Так как △ABC равносторонний, то
AB=BC=AC=5x.
Из пункта а) известно, что ∠AEM=∠CMK.
Кроме того, так как △ABC равносторонний, то ∠EAM=∠KCM=60∘.
Значит, треугольники AEM и CMK подобны по двум углам:
△AEM∼△CMK.
Обозначим коэффициент подобия этих треугольников через k, причём
AECM=AMCK=EMKM=k.
Тогда
AE=kCM=k4x,CK=k⋅AM=kx.
Значит,
BE=AB−AE=5x−k4x,BK=BC−CK=5x−kx.
Из пункта а) знаем, что
BE=EM,BK=KM.
Следовательно,
EM=5x−k4x,KM=5x−kx. Теперь используем отношение
EMKM=k.
