Дано натуральное число. К этому числу можно… — Теория чисел — ЕГЭ

Теория чиселДосрок 2023

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

a) Можно ли получить из число 128 число 29?

б) Можно ли получить из число 128 число 31?

в) Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?

Решение

а) Можно, например, вычтем три раза утроенную сумма цифр числа 128:

128 \xrightarrow[]{-3 \cdot 11} 95 \xrightarrow[]{-3 \cdot 14} 53 \xrightarrow[]{-3 \cdot 8~} 29.

б) Пусть исходное число равно

x

и после выполнения некоторой операции получилось число

y

x \xrightarrow[]{\pm 3\cdot S(x)} y.

Получаем, что

x-y = \pm 3 S(x).

Заметим, что правая уравнения всегда делится на 3, значит левая часть должна делится на

3

. Выполнив эту операцию ещё раз

y \xrightarrow[]{\pm 3\cdot S(y)} z

мы также получаем, что

y-z

кратно 3. Таким образом,

x-y

делится на 3 и

y-z

делится на 3, следовательно,

x-z

делится на 3. Получаем, что разность любых двух чисел в нашей последовательности должна делится на 3. Но

128 -31=97

не делится на 3. Противоречие.

в) Воспользуемся идеей из пункта б).

Предположим, что минимальное полученное число равно 1, тогда

128 -1 = 127

, но число

127

не делится на

3

. Предположим, что получилось число 2:

128-2 =126

и число

126

делится на 3.

Составим пример:

128 \xrightarrow[]{-3 \cdot 11~} 95 \xrightarrow[]{-3 \cdot 14~} 53 \xrightarrow[]{-3 \cdot 8~} 29 \xrightarrow[]{+3 \cdot 11~} 62 \xrightarrow[]{-3 \cdot 8~} 38\xrightarrow[]{-3 \cdot 11~} 5 \xrightarrow[]{+3 \cdot 5~} 20 \xrightarrow[]{+3 \cdot 2~} 26 \xrightarrow[]{-3 \cdot 8~} 2.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 2.