Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{(x^{2}+0{,}25)(x+1)}{-1-x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Функция определена при

x\neq -1

.

Вынесем минус за скобки в знаменателе и сократим одинаковые множители

(x+1)

y=\dfrac{(x^{2}+0{,}25)(x+1)}{-1-x}=\dfrac{(x^{2}+0{,}25)(x+1)}{-(x+1)}=-\dfrac{(x^{2}+0{,}25)(x+1)}{(x+1)}=-(x^{2}+0{,}25)=- x^{2} - 0{,}25, \qquad x\neq -1.

Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим

x=-1

в упрощённую формулу:

y(-1)=-(-1)^2-0{,}25=-1{,}25.

Следовательно, выколотая точка:

(-1; -1{,}25)

.

Для параболы

y=- x^{2} - 0{,}25

имеем

a=-1

b=0

c=-0{,}25

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2\cdot(-1)}=0.

y_0=-1\cdot(0)^2+0\cdot(0)-0{,}25=-0{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0; -0{,}25)

.

Таблица значений для

y=- x^{2} - 0{,}25

(с учетом выколотых точек):

График функции:

Чтобы график функции имел одну общую точку с прямой

y=kx

, нужно, чтобы прямая проходила через выколотую точку. Подставим координаты выколотой точки

(-1; -1{,}25)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

-1{,}25=k\cdot -1;

k=1{,}25.

Кроме этого, прямая

y=kx

имеет с параболой ровно одну общую точку, если она касается параболы. Найдём такие значения

k

- x^{2} - 0{,}25=kx;

- k x - x^{2} - 0{,}25=0.

Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

D=k^{2} - 1=0;

k=-1\quad\text{или}\quad k=1.

Таким образом, ровно одна общая точка получается в случае прохождения через выколотую точку и в случаях касания параболы.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

k \in \{-1\} \cup\{1\} \cup\{1{,}25\}

Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи