Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЯщенкоЕГЭ 2020 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}\log_{11}(a-y^2)=\log_{11}(a-x^2), \\x^2+y^2=2x+6y\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Заметим, что при

a \leqslant 0

верно, что

a - x^2 \leqslant 0

, следовательно, первое уравнение
системы не имеет решений. Таким образом, далее будем рассматривать случай

a>0

. С помощью монотонности логарифма перейдём к равносильной системе:

\begin{cases} a - y^2 = a - x^2,\\ a - x^2 > 0, \\ x^2 + y^2 = 2x + 6y; \end{cases} \quad \begin{cases} x^2 = y^2,\\ x^2 < a, \\ x^2 + y^2 = 2x + 6y. \end{cases}

Преобразуем последнее уравнение системы, выделяя полные квадраты:

x^2 + y^2 = 2x + 6y, \quad x^2 + y^2 - 2x - 6y = 0, \quad (x-1)^2 + (y-3)^2 = 10.\quad (*)

Проанализируем каждое выражение системы:

1)

x^2 = y^2, \quad (x - y)(x + y) = 0.

Уравнения

x = y

y = -x

задают прямые, проходящие через точку

(0;0)

, с угловыми коэффициентами

1

-1

.
2)

x^2 < a, \quad -\sqrt{a} < x < \sqrt{a}.\quad (**)

Данное неравенство задаёт область между прямыми

x = -\sqrt{a}

x = \sqrt{a}

, не включая границу.
3) Уравнение

(x-1)^2 + (y-3)^2 = 10

задаёт окружность с центром в точке

(1; 3)

и радиусом

\sqrt{10}

.

Таким образом, исходная система равносильна следующей совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} y = -x,\\ (x-1)^2 + (y-3)^2 = 10,\\ -\sqrt{a} < x < \sqrt{a}; \end{cases} \;(1) \\ &\begin{cases} y = x,\\ (x-1)^2 + (y-3)^2 = 10,\\ -\sqrt{a} < x < \sqrt{a}. \end{cases} \;(2) \end{aligned} \right.

Окружность проходит через точку

(0; 0)

, так как

(0 - 1)^2 + (0 - 3)^2 = 1 + 9 = 10,

значит, прямые всегда пересекают окружность в точке

(0;0)

.

Найдём точки пересечения окружности и прямой

y = -x

(x - 1)^2 + (-x - 3)^2 = 10,\quad x^2 - 2x + 1 + x^2 + 6x + 9 = 10, \quad x(x + 2) = 0.

Следовательно, пересечение происходит в точках

(0; 0)

(-2; 2)

Значит,

(1)

имеет два решения, когда точка

(-2; 2)

попадает в полосу

(**)

, то есть при

a > 4

.

Найдём точки пересечения окружности и прямой

y = x

(x - 1)^2 + (x - 3)^2 = 10, \quad x^2 - 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 = 10, \quad x(x - 4) = 0.

Следовательно, пересечение происходит в точках

(0; 0)

(4; 4)

Значит,

(2)

имеет два решения, когда точка

(4; 4)

попадает в полосу

(**)

, то есть при

a > 16

.

Итого, получаем:

1) при

a \leqslant 0

система не имеет решений;
2) при

0 < a \leqslant 4

система имеет

1

решение;
3) при

4 < a \leqslant 16

система имеет

2

решения;
4) при

a > 16

система имеет

3

решения.

Ответ:

(4;16]

Похожие задачи