Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
ln(5x−2)x2−2x−a2+2a=0 имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Решение
Уравнение равносильно совокупности систем:
{ln(5x−2)=0,x2−2x+2a−a2⩾0,(1){x2−2x+2a−a2=0,5x−2>0.(2) 1 случай:
ln(5x−2)=0,5x−2=1,x=53. Заметим, что x=53 принадлежит отрезку [0;1]. \par \medskip
Найдём, при каких a корень x=53 удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения:
(53)2−2⋅53+2a−a2⩾0;⋅25; 9−30+50a−25a2⩾0;25a2−50a+21⩽0; D=2500−2100=400; a1=5050+20=57,a2=5050−20=53; 25(a−53)(a−57)⩽0;
a∈[53;57]. 2 случай:
x2−2x+2a−a2=0; x2−2x+2a−a2=0; D=4−4(2a−a2)=4a2−8a+4=4(a−1)2; x1=22+2a−2=a,x2=22−2a+2=2−a. Рассмотрим корень x=a. Найдём такие a, при которых он удовлетворяет ограничению 5x−2>0 и принадлежит отрезку [0;1]: {5a−2>0,0⩽a⩽1;{5a>2,0⩽a⩽1;⎩⎨⎧a>52,0⩽a⩽1;a∈(52;1].
Рассмотрим корень x=2−a. Найдём такие a, при которых он удовлетворяет ограничению 5x−2>0 и принадлежит отрезку [0;1]: {5(2−a)−2>0,0⩽2−a⩽1;{10−5a−2>0,−2⩽−a⩽−1;⎩⎨⎧a<58,1⩽a⩽2;a∈[1;58).
Рассмотрим совпадение корней:
1) x=53 и x=a: a=53. 2) x=53 и x=2−a: 53=2−a,a=57. 3) x=a и x=2−a: a=2−a,2a=2,a=1. Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:
Получаем, что ровно одно решение будет при a∈(52;53]∪[57;58).
