Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГКР 05.04.2024

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} \log_4 (1 - y^2) = \log_4 (1 - a^2 x^2), \\ x^2 + 4y^2 = 5x + 4y \end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Исходное уравнение равносильно следующей системе

\begin{cases} 1 - y^2 = 1 - a^2x^2, \\ 1 - y^2 > 0, \\ x^2 - 5x + 4y^2 - 4y = 0; \end{cases} \quad \begin{cases} y = \pm ax, \\ -1 < y < 1, \\ 4y^2 - 4y + x^2 - 5x = 0. \end{cases}

Подставим

y = ax

в последнее уравнение системы:

4a^2x^2 - 4ax + x^2 - 5x = 0;

x^2 (4a^2 + 1) - x(4a + 5) = 0;

x\left(x(4a^2 + 1) - (4a + 5)\right) = 0;

\left[ \begin{gathered} x = 0, \ \\ x = \dfrac{4a + 5}{4a^2 + 1}. \end{gathered}\right.

Получаем две пары возможных решений:

\left(\dfrac{4a + 5}{4a^2 + 1};\dfrac{4a^2 + 5a}{4a^2 + 1}\right)

(0;0)

.
Подставим

y = -ax

в последнее уравнение системы:

4a^2x^2 + 4ax + x^2 - 5x = 0;

x^2 (4a^2 + 1) + x(4a - 5) = 0;

x\left(x(4a^2 + 1) + (4a - 5)\right) = 0;

\left[ \begin{gathered} x = 0, \ \\ x = \dfrac{5 - 4a}{4a^2 + 1}. \end{gathered}\right.

Получаем две пары возможных решений:

\left(\dfrac{5 - 4a}{4a^2 + 1};\dfrac{4a^2 - 5a}{4a^2 + 1}\right)

(0;0)

.

Заметим, что решение

(0;0)

существует всегда.

Проверим, при каких значениях

a

существует решение

\left(\dfrac{4a + 5}{4a^2 + 1};\dfrac{4a^2 + 5a}{4a^2 + 1}\right)

-1 < \dfrac{4a^2 + 5a}{4a^2 + 1} < 1; \ \big| \cdot (4a^2 + 1) > 0

- 4a^2 - 1 < 4a^2 + 5a < 4a^2 + 1;

\begin{cases} 8a^2 + 5a + 1 > 0, \\ 5a < 1; \end{cases} \quad \begin{cases} a \in \mathbb{R}, \\ a < \dfrac{1}{5}; \end{cases} \quad a < \dfrac{1}{5}.

Проверим, при каких значениях

a

существует решение

\left(\dfrac{5 - 4a}{4a^2 + 1};\dfrac{4a^2 - 5a}{4a^2 + 1}\right)

-1 < \dfrac{4a^2 - 5a}{4a^2 + 1} < 1; \ \big| \cdot (4a^2 + 1) > 0

- 4a^2 - 1 < 4a^2 - 5a < 4a^2 + 1;

\begin{cases} 8a^2 - 5a + 1 > 0, \\ -5a < 1; \end{cases} \quad \begin{cases} a \in \mathbb{R}, \\ a > -\dfrac{1}{5}; \end{cases} \quad a > -\dfrac{1}{5}.

Рассмотрим возможные совпадения решений.

1)

y = 0

y = \dfrac{4a^2 + 5a}{4a^2 + 1}

4a^2 + 5a = 0, \quad a(4a + 5) = 0, \quad a = 0 \ \text{или} \ a = -\dfrac{5}{4}.

y = 0

y = \dfrac{4a^2 - 5a}{4a^2 + 1}

4a^2 - 5a = 0, \quad a(4a - 5) = 0, \quad a = 0 \ \text{или} \ a = \dfrac{5}{4}.

y = \dfrac{4a^2 + 5a}{4a^2 + 1}

y = \dfrac{4a^2 - 5a}{4a^2 + 1}

4a^2 + 5a = 4a^2 - 5a, \quad 10a = 0, \quad a = 0.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком

-

число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно два решения.

Получаем, что ровно два решения будет при

a \in \left(-\infty; -\dfrac{5}{4}\right) \cup \left(-\dfrac{5}{4}; -\dfrac{1}{5}\right] \cup \{0\} \cup \left[\dfrac{1}{5}; \dfrac{5}{4}\right) \cup \left(\dfrac{5}{4}; +\infty\right).

Ответ:

a \in \left(-\infty; -\dfrac{5}{4}\right) \cup \left(-\dfrac{5}{4}; -\dfrac{1}{5}\right] \cup \{0\} \cup \left[\dfrac{1}{5}; \dfrac{5}{4}\right) \cup \left(\dfrac{5}{4}; +\infty\right)

Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи