Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений{log4(1−y2)=log4(1−a2x2),x2+4y2=5x+4yимеет ровно два различных решения.
Решение
Исходное уравнение равносильно следующей системе⎩⎨⎧1−y2=1−a2x2,1−y2>0,x2−5x+4y2−4y=0;⎩⎨⎧y=±ax,−1<y<1,4y2−4y+x2−5x=0.Подставим y=ax в последнее уравнение системы:4a2x2−4ax+x2−5x=0;x2(4a2+1)−x(4a+5)=0;x(x(4a2+1)−(4a+5))=0;x=0,x=4a2+14a+5.Получаем две пары возможных решений: (4a2+14a+5;4a2+14a2+5a) и (0;0). Подставим y=−ax в последнее уравнение системы:4a2x2+4ax+x2−5x=0;x2(4a2+1)+x(4a−5)=0;x(x(4a2+1)+(4a−5))=0;x=0,x=4a2+15−4a.Получаем две пары возможных решений: (4a2+15−4a;4a2+14a2−5a) и (0;0).
Заметим, что решение (0;0) существует всегда.
Проверим, при каких значениях a существует решение (4a2+14a+5;4a2+14a2+5a):−1<4a2+14a2+5a<1;⋅(4a2+1)>0−4a2−1<4a2+5a<4a2+1;{8a2+5a+1>0,5a<1;⎩⎨⎧a∈R,a<51;a<51.Проверим, при каких значениях a существует решение (4a2+15−4a;4a2+14a2−5a):−1<4a2+14a2−5a<1;⋅(4a2+1)>0−4a2−1<4a2−5a<4a2+1;{8a2−5a+1>0,−5a<1;⎩⎨⎧a∈R,a>−51;a>−51.Рассмотрим возможные совпадения решений.
1) y=0 и y=4a2+14a2+5a:4a2+5a=0,a(4a+5)=0,a=0илиa=−45.2) y=0 и y=4a2+14a2−5a:4a2−5a=0,a(4a−5)=0,a=0илиa=45.3) y=4a2+14a2+5a и y=4a2+14a2−5a:4a2+5a=4a2−5a,10a=0,a=0.Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком − число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно два решения.
Получаем, что ровно два решения будет при a∈(−∞;−45)∪(−45;−51]∪{0}∪[51;45)∪(45;+∞).Ответ: a∈(−∞;−45)∪(−45;−51]∪{0}∪[51;45)∪(45;+∞).
