Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x2−5+ln(x−a))2=(x2−5)2+ln2(x−a) имеет один корень на отрезке [−1;3].
Решение
Пусть x2−5=u,ln(x−a)=v. Тогда уравнение примет вид:
(u+v)2=u2+v2,u2+2uv+v2=u2+v2,2uv=0. 2ln(x−a)⋅(x2−5)=0,{x2−5=0,x−a>0,(1)ln(x−a)=0.(2) 1 случай:
x2−5=0,x=±5. Заметим, что отрезку [−1;3] принадлежит только x=5, значит, x=−5 -- посторонний корень.
Найдём, при каких a корень x=5 удовлетворяет условию x−a>0: 5−a>0,a<5.
2 случай:
ln(x−a)=0,x−a=1,x=1+a. Найдём, при каких a корень x=1+a принадлежит отрезку [−1;3]: −1⩽a+1⩽3,−2⩽a⩽2. Рассмотрим совпадение корней x=5 и x=a+1: a+1=5,a=5−1. Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:
Получаем, что ровно одно решение будет при a∈(−∞;−2)∪{5−1}∪(2;5).
