Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2023 (досрок)

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{1-2x}\ln{(25x^2-a^2)}=\sqrt{1-2x}\ln{(5x-a)}

имеет ровно один корень.

Решение

Графическое решение:
Запишем ОДЗ:

\begin{cases} 1-2x \geqslant 0, \\ 25x^2-a^2 >0, \\ 5x-a > 0.\end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x \leqslant \dfrac{1}{2}, \\ (5x-a)(5x+a) >0, \\ 5x-a >0.\end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} x \leqslant \dfrac{1}{2}, \\ 5x+a >0, \\ 5x-a >0.\end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} x \leqslant \dfrac{1}{2}, \\ a < -5x, \\ a > 5x.\end{cases}

Преобразуем исходное уравнение:

\sqrt{1-2x}\ln{(25x^2-a^2)} - \sqrt{1-2x}\ln{(5x-a)} =0;

\sqrt{1-2x} (\ln{(25x^2-a^2)} - \ln{(5x-a)} )=0.

Получаем

\left[\begin{gathered} \sqrt{1-2x} =0, \ \\ \ln{(25x^2-a^2)} = \ln{(5x-a)}.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x= \dfrac{1}{2}, \ \\25x^2-a^2 = 5x-a.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x= \dfrac{1}{2}, \ \\(5x-a)(5x+a)=5x-a.\end{gathered}\right.

Так как на ОДЗ выражение

(x-a)>0

, то разделим второе уравнение на него, тогда

\left[\begin{gathered} x= \dfrac{1}{2}, \ \\5x+a =1.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x= \dfrac{1}{2}, \ \\a = 1-5x.\end{gathered}\right.

Изобразим множество точек, удовлетворяющих системе на координатной плоскости

Oxa

Положение

I

: Пересечение прямой

a =-5x

x = \dfrac{1}{2}

a = -5 \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2}.

Положение

II

: Пересечение прямой

a =1-5x

x = \dfrac{1}{2}

a = 1-5 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.

Положение

III

: Пересечение прямой

a =1-5x

a = 5x

1 -5x =5x;

10x =1;

x = \dfrac{1}{10} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}.

Положение

IV

: Пересечение прямой

a =5x

x = \dfrac{1}{2}

a = 5 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение при

a \in \left( -\dfrac{5}{2}; -\dfrac{3}{2}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2} \right).

Аналитическое решение:

Преобразуем исходное уравнение:

\sqrt{1-2x}\ln{(25x^2-a^2)} - \sqrt{1-2x}\ln{(5x-a)} =0;

\sqrt{1-2x} (\ln{(25x^2-a^2)} - \ln{(5x-a)} )=0.

Перейдём к совокупности-следствию:

\left[\begin{gathered} \sqrt{1-2x} =0, \ \\ \ln{(25x^2-a^2)} = \ln{(5x-a)}.\end{gathered}\right.\Rightarrow \left[\begin{gathered} x= \dfrac{1}{2}, \ \\25x^2-a^2 = 5x-a.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x= \dfrac{1}{2}, \ \\(5x-a)(5x+a)=5x-a.\end{gathered}\right.

Получаем, что

\left[\begin{gathered} x= \dfrac{1}{2}, \ \\ 5x+a =1, \\ 5x-a =0.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered} x= \dfrac{1}{2}, \ \\ x =\dfrac{1-a}{5}, \\ x=\dfrac{a}{5}. \\end{gathered}\right.

Теперь выполним проверку, найденных значений

x

, подставив их в исходное уравнение:

1)

x_1 = \dfrac{1}{2}

0 \cdot \ln \left( \dfrac{25}{4}-a^2 \right) = 0 \cdot \ln \left( \dfrac{5}{4}-a \right).

Получаем верное равенство, значит значение

x = \dfrac{1}{2}

является корнем исходного уравнения, если выполняются следующие условия:

\begin{cases} \dfrac{25}{4}-a^2 > 0, \\[2mm] \dfrac{5}{2}-a >0. \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} - \dfrac{5}{2} < a < \dfrac{5}{2}, \\ a < \dfrac{5}{2}. \end{cases} \Leftrightarrow \quad a \in \left(-\dfrac{5}{2}; \dfrac{5}{2} \right).

x_2 = \dfrac{1-a}{5}

\sqrt{1- \dfrac{2-2a}{5}} \cdot \ln \left( 1-2a \right) = \sqrt{1- \dfrac{2-2a}{5}} \cdot \ln \left( 1-2a \right).

Получаем верное равенство, значит значение

x = \dfrac{1-a}{5}

является корнем исходного уравнения, если выполняются следующие условия:

\begin{cases} 1- \dfrac{2-2a}{5} \geqslant0, \\ 1-2a >0. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a \geqslant-3, \\ -2a > -1. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \geqslant -\dfrac{3}{2}, \\ a < \dfrac{1}{2}. \end{cases}

Получаем

a \in \left[-\dfrac{3}{2}; \dfrac{1}{2} \right).

x_3 = \dfrac{a}{5}

\sqrt{1- \dfrac{2a}{5}} \cdot \ln \left(0 \right) = \sqrt{1- \dfrac{2a}{5}} \cdot \ln \left( 0 \right).

Получаем, что данное равенство не имеет смысла, следовательно, значение

x= \dfrac{a}{5}

не является корнем исходного уравнения.

Проверим совпадение корней

x_1=x_2

\dfrac{1-a}{5}=\dfrac{1}{2};

2-2a = 5;

a= -\dfrac{3}{2}.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение при

a \in \left( -\dfrac{5}{2}; -\dfrac{3}{2}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2} \right).

Ответ:

\left( -\dfrac{5}{2}; -\dfrac{3}{2}\right] \cup \left[\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2} \right)

Похожие задачи