Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
1−2xln(25x2−a2)=1−2xln(5x−a) имеет ровно один корень.
Решение
Графическое решение:
Запишем ОДЗ:
⎩⎨⎧1−2x⩾0,25x2−a2>0,5x−a>0.⇔⎩⎨⎧x⩽21,(5x−a)(5x+a)>0,5x−a>0.⇔⎩⎨⎧x⩽21,5x+a>0,5x−a>0.⇔⎩⎨⎧x⩽21,a<−5x,a>5x. Преобразуем исходное уравнение:
1−2xln(25x2−a2)−1−2xln(5x−a)=0;1−2x(ln(25x2−a2)−ln(5x−a))=0. Получаем
[1−2x=0,ln(25x2−a2)=ln(5x−a).⇔x=21,25x2−a2=5x−a.⇔x=21,(5x−a)(5x+a)=5x−a. Так как на ОДЗ выражение (x−a)>0, то разделим второе уравнение на него, тогда
x=21,5x+a=1.⇔x=21,a=1−5x. Изобразим множество точек, удовлетворяющих системе на координатной плоскости Oxa:
Положение I: Пересечение прямой a=−5x и x=21: a=−5⋅21=−25. Положение II: Пересечение прямой a=1−5x и x=21: a=1−5⋅21=23. Положение III: Пересечение прямой a=1−5x и a=5x:1−5x=5x;10x=1; x=101⇒a=21. Положение IV: Пересечение прямой a=5x и x=21: a=5⋅21=25. Таким образом, уравнение имеет единственное решение при
a∈(−25;−23]∪[21;25).
Аналитическое решение:
Преобразуем исходное уравнение:
1−2xln(25x2−a2)−1−2xln(5x−a)=0;1−2x(ln(25x2−a2)−ln(5x−a))=0. Перейдём к совокупности-следствию:
[1−2x=0,ln(25x2−a2)=ln(5x−a).⇒x=21,25x2−a2=5x−a.⇔x=21,(5x−a)(5x+a)=5x−a. Получаем, что
x=21,5x+a=1,5x−a=0.⇔x=21,x=51−a,x=5a. Теперь выполним проверку, найденных значений x, подставив их в исходное уравнение:
1) x1=21: 0⋅ln(425−a2)=0⋅ln(45−a). Получаем верное равенство, значит значение x=21 является корнем исходного уравнения, если выполняются следующие условия:
⎩⎨⎧425−a2>0,25−a>0.⇔⎩⎨⎧−25<a<25,a<25.⇔a∈(−25;25). 2) x2=51−a: 1−52−2a⋅ln(1−2a)=1−52−2a⋅ln(1−2a). Получаем верное равенство, значит значение x=51−a является корнем исходного уравнения, если выполняются следующие условия:
⎩⎨⎧1−52−2a⩾0,1−2a>0.⇔{2a⩾−3,−2a>−1.⇔⎩⎨⎧a⩾−23,a<21. Получаем
a∈[−23;21). 3) x3=5a: 1−52a⋅ln(0)=1−52a⋅ln(0). Получаем, что данное равенство не имеет смысла, следовательно, значение x=5a не является корнем исходного уравнения.
