Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение1−2xln(25x2−a2)=1−2xln(5x−a)имеет ровно один корень.
Решение
Графическое решение: Запишем ОДЗ:⎩⎨⎧1−2x⩾0,25x2−a2>0,5x−a>0.⇔⎩⎨⎧x⩽21,(5x−a)(5x+a)>0,5x−a>0.⇔⎩⎨⎧x⩽21,5x+a>0,5x−a>0.⇔⎩⎨⎧x⩽21,a<−5x,a>5x.Преобразуем исходное уравнение:1−2xln(25x2−a2)−1−2xln(5x−a)=0;1−2x(ln(25x2−a2)−ln(5x−a))=0.Получаем[1−2x=0,ln(25x2−a2)=ln(5x−a).⇔x=21,25x2−a2=5x−a.⇔x=21,(5x−a)(5x+a)=5x−a.Так как на ОДЗ выражение (x−a)>0, то разделим второе уравнение на него, тогдаx=21,5x+a=1.⇔x=21,a=1−5x.Изобразим множество точек, удовлетворяющих системе на координатной плоскости Oxa:
Положение I: Пересечение прямой a=−5x и x=21:a=−5⋅21=−25.Положение II: Пересечение прямой a=1−5x и x=21:a=1−5⋅21=23.Положение III: Пересечение прямой a=1−5x и a=5x:1−5x=5x;10x=1;x=101⇒a=21.Положение IV: Пересечение прямой a=5x и x=21:a=5⋅21=25.Таким образом, уравнение имеет единственное решение приa∈(−25;−23]∪[21;25).Аналитическое решение:
Преобразуем исходное уравнение:1−2xln(25x2−a2)−1−2xln(5x−a)=0;1−2x(ln(25x2−a2)−ln(5x−a))=0.Перейдём к совокупности-следствию:[1−2x=0,ln(25x2−a2)=ln(5x−a).⇒x=21,25x2−a2=5x−a.⇔x=21,(5x−a)(5x+a)=5x−a.Получаем, чтоx=21,5x+a=1,5x−a=0.⇔x=21,x=51−a,x=5a.Теперь выполним проверку, найденных значений x, подставив их в исходное уравнение:
1) x1=21:0⋅ln(425−a2)=0⋅ln(45−a).Получаем верное равенство, значит значение x=21 является корнем исходного уравнения, если выполняются следующие условия:⎩⎨⎧425−a2>0,25−a>0.⇔⎩⎨⎧−25<a<25,a<25.⇔a∈(−25;25).2) x2=51−a:1−52−2a⋅ln(1−2a)=1−52−2a⋅ln(1−2a).Получаем верное равенство, значит значение x=51−a является корнем исходного уравнения, если выполняются следующие условия:⎩⎨⎧1−52−2a⩾0,1−2a>0.⇔{2a⩾−3,−2a>−1.⇔⎩⎨⎧a⩾−23,a<21.Получаемa∈[−23;21).3) x3=5a:1−52a⋅ln(0)=1−52a⋅ln(0).Получаем, что данное равенство не имеет смысла, следовательно, значение x=5a не является корнем исходного уравнения.
