Найдите все значения a, при каждом из которых функцияf(x)=loga−6(a2+36x2−6x)−2является нечётной.
Решение
Функция f(x) является нечётной, если для всех x из области её определения выполняется равенство f(−x)=−f(x), а также D(f(−x))=D(f(x)). Найдём D(f(x)):⎩⎨⎧a−6>0,a−6=1,a2+36x2⩾0,a2+36x2−6x>0;⎩⎨⎧a>6,a=7,x,a∈R,a2+36x2>6x.(1)Рассмотрим неравенство (1): При x<0 неравенство верно всегда, при x⩾0 возведём в квадрат обе части:a2+36x2>36x2;a2>0;a=0.Получаем, что a∈(6;7)∪(7;+∞). Найдём D(f(−x)):⎩⎨⎧a−6>0,a−6=1,a2+36x2⩾0,a2+36x2+6x>0;⎩⎨⎧a>6,a=7,x,a∈R,a2+36x2>−6x.(2)Рассмотрим неравенство (2): При x>0 неравенство верно всегда, при x⩽0 возведём в квадрат обе части:a2+36x2>36x2;a2>0;a=0.Получаем, что a∈(6;7)∪(7;+∞). Значит, области определения совпадают. Решим уравнение f(−x)=−f(x):loga−6(a2+36x2+6x)−2=−loga−6(a2+36x2+6x)+2;loga−6((a2+36x2−6x)(a2+36x2−6x))=4;(a−6)4=a2+36x2−36x2;(a−6)4=a2;(a−6)2=±a.Решим уравнение (a−6)2=a:a2−12a−a+36=0;a2−13a+36=0;D=169−144=25;a1=213+5=9,a2=213−5=4.Но a=4 не входит в область определения, поэтому a=9. Решим уравнение (a−6)2=−a:a2−12a+a+36=0;a2−11a+36=0;D=121−144=−23<0.Ответ: a=9.
