Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГКР 25.03.2025

Найдите все значения

a

, при каждом из которых функция

f(x) = \log_{a-6} \left( \sqrt{a^2 + 36x^2} - 6x \right) - 2

является нечётной.

Решение

Функция

f(x)

является нечётной, если для всех

x

из области её определения выполняется равенство

f(-x) = -f(x)

, а также

D(f(-x)) = D(f(x))

.
Найдём

D(f(x))

\begin{cases} a - 6 > 0, \\ a - 6 \neq 1, \\ a^2 + 36x^2 \geqslant 0, \\ \sqrt{a^2 + 36x^2} - 6x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} a > 6, \\ a \neq 7, \\ x, a \in \mathbb{R}, \\ \sqrt{a^2 + 36x^2} > 6x. \quad (1) \end{cases}

Рассмотрим неравенство (1):
При

x < 0

неравенство верно всегда, при

x \geqslant 0

возведём в квадрат обе части:

a^2 + 36x^2 > 36x^2;

a^2 > 0;

a \neq 0.

Получаем, что

a \in (6; 7) \cup (7; +\infty)

.
Найдём

D(f(-x))

\begin{cases} a - 6 > 0, \\ a - 6 \neq 1, \\ a^2 + 36x^2 \geqslant 0, \\ \sqrt{a^2 + 36x^2} + 6x > 0; \end{cases} \quad \begin{cases} a > 6, \\ a \neq 7, \\ x, a \in \mathbb{R}, \\ \sqrt{a^2 + 36x^2} > -6x. \quad (2) \end{cases}

Рассмотрим неравенство (2):
При

x > 0

неравенство верно всегда, при

x \leqslant 0

возведём в квадрат обе части:

a^2 + 36x^2 > 36x^2;

a^2 > 0;

a \neq 0.

Получаем, что

a \in (6; 7) \cup (7; +\infty)

. Значит, области определения совпадают.
Решим уравнение

f(-x) = -f(x)

\log_{a-6} \left( \sqrt{a^2 + 36x^2} + 6x \right) - 2 = -\log_{a-6} \left( \sqrt{a^2 + 36x^2} + 6x \right) + 2 ;

\log_{a-6} \left((\sqrt{a^2 + 36x^2} - 6x)(\sqrt{a^2 + 36x^2} - 6x)\right) = 4;

(a - 6)^4 = a^2 + 36x^2 - 36x^2;

(a - 6)^4 = a^2;

(a - 6)^2 = \pm a.

Решим уравнение

(a - 6)^2 = a

a^2 - 12a - a + 36 = 0;

a^2 - 13a + 36 = 0;

D = 169 - 144 = 25;

a_1 = \dfrac{13 + 5}{2} = 9, \quad a_2 = \dfrac{13 - 5}{2} = 4.

Но

a = 4

не входит в область определения, поэтому

a = 9

.
Решим уравнение

(a - 6)^2 = -a

a^2 - 12a + a + 36 = 0;

a^2 - 11a + 36 = 0;

D = 121 - 144 = -23 < 0.

Ответ:

a = 9

Похожие задачи