Найдите все значения a, при каждом из которых функция
f(x)=loga−6(a2+36x2−6x)−2 является нечётной.
Решение
Функция f(x) является нечётной, если для всех x из области её определения выполняется равенство f(−x)=−f(x), а также D(f(−x))=D(f(x)). Найдём D(f(x)): ⎩⎨⎧a−6>0,a−6=1,a2+36x2⩾0,a2+36x2−6x>0;⎩⎨⎧a>6,a=7,x,a∈R,a2+36x2>6x.(1) Рассмотрим неравенство (1):
При x<0 неравенство верно всегда, при x⩾0 возведём в квадрат обе части:
a2+36x2>36x2; a2>0; a=0. Получаем, что a∈(6;7)∪(7;+∞). Найдём D(f(−x)): ⎩⎨⎧a−6>0,a−6=1,a2+36x2⩾0,a2+36x2+6x>0;⎩⎨⎧a>6,a=7,x,a∈R,a2+36x2>−6x.(2) Рассмотрим неравенство (2):
При x>0 неравенство верно всегда, при x⩽0 возведём в квадрат обе части:
a2+36x2>36x2; a2>0; a=0. Получаем, что a∈(6;7)∪(7;+∞). Значит, области определения совпадают.
Решим уравнение f(−x)=−f(x): loga−6(a2+36x2+6x)−2=−loga−6(a2+36x2+6x)+2; loga−6((a2+36x2−6x)(a2+36x2−6x))=4; (a−6)4=a2+36x2−36x2; (a−6)4=a2; (a−6)2=±a. Решим уравнение (a−6)2=a: a2−12a−a+36=0; a2−13a+36=0; D=169−144=25; a1=213+5=9,a2=213−5=4. Но a=4 не входит в область определения, поэтому a=9. Решим уравнение (a−6)2=−a: a2−12a+a+36=0; a2−11a+36=0; D=121−144=−23<0. Ответ: a=9.
