Найдите, при каких значениях параметра уравнение
5x2+5x2log25a=5−∣x∣log125a+(51)∣x∣ имеет хотя бы одно решение.
Решение
Пусть log125a=b, тогда log25a=23b. Тогда уравнение примет вид:
5x2⋅(1+23b)=5−∣x∣⋅(b+1);:5−∣x∣>0 5x2+∣x∣⋅(1+23b)=b+1. Если b=−32, то 0=31, решений нет.
Если b=−32, то
5x2+∣x∣=1+23bb+1.
Заметим, что x2+∣x∣=∣x∣2+∣x∣+41−41=(∣x∣+21)2−41⩾0.
Тогда выражение 5x2+∣x∣ будет принимать значения из промежутка [50;+∞).
Тогда для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно выполнение неравенства
23b+1b+1⩾1,23b+1b+1−23b−1⩾0,23b+1−21b⩾0,3b+2b⩽0;
Получили, что b∈(−32;0].
После обратной замены получаем:
−32<log125a⩽0,−2<log5a⩽0,251<a⩽1.
