Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромМЦКО

Найдите, при каких значениях параметра уравнение

5^{x^2}+5^{x^2}\log_{25}a=5^{-|x|}\log_{125}a+\left( \dfrac{1}{5} \right)^{|x|}

имеет хотя бы одно решение.

Решение

Пусть

\log_{125}a = b

, тогда

\log_{25}a = \dfrac{3b}{2}

. Тогда уравнение примет вид:

5^{x^2}\cdot\left(1 + \dfrac{3b}{2}\right) = 5^{-|x|}\cdot (b+1); \ \big| :5^{-|x|} > 0

5^{x^2 + |x|}\cdot\left(1 + \dfrac{3b}{2}\right) = b+1.

Если

b = -\dfrac{2}{3}

, то

0 = \dfrac{1}{3}

, решений нет.

Если

b \neq - \dfrac{2}{3}

, то

5^{x^2 + |x|} = \dfrac{b+1}{1+\dfrac{3}{2}b}.

Заметим, что

x^2 + |x| = |x|^2 + |x| + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = \left(|x| + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} \geqslant 0.

Тогда выражение

5^{x^2 + |x|}

будет принимать значения из промежутка

\left[5^0; +\infty\right)

.

Тогда для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно выполнение неравенства

\dfrac{b+1}{\dfrac{3}{2}b+1} \geqslant 1, \quad \dfrac{b+1-\dfrac{3}{2}b-1}{\dfrac{3}{2}b+1} \geqslant 0, \quad \dfrac{-\dfrac{1}{2}b}{\dfrac{3}{2}b+1} \geqslant 0, \quad \dfrac{b}{3b+2}\leqslant0;

Получили, что

b \in \left(-\dfrac{2}{3}; 0\right]

.

После обратной замены получаем:

-\dfrac{2}{3} < \log_{125}a \leqslant 0, \quad -2 < \log_{5}a \leqslant 0, \quad \dfrac{1}{25} < a \leqslant 1.

Ответ:

\left(\dfrac{1}{25}; 1\right]

Похожие задачи