Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Неравенства

ЕГЭ 2024 (досрок)

Решите неравенство

\log_{11}{(2x^2+1)}+\log_{11}\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)\geqslant \log_{11}\left(\dfrac{x}{16}+1\right)

Решение

Запишем область допустимых значений:

\begin{cases} 2x^2+1>0, \\ \dfrac{1}{32x}+1 >0,\\[5pt] \dfrac{x}{16}+1>0.\end{cases}\Leftrightarrow \quad x \in \left(-16; -\dfrac{1}{32} \right) \cup (0; + \infty).

Выполним преобразования:

\log_{11}(2x^2+1)+ \log_{11}\left(\dfrac{1}{32x}+1 \right) = \log_{11}\left((2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1 \right) \right).

Неравенство примет вид:

\log_{11}\left((2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1 \right) \right) \geqslant \log_{11}\left( \dfrac{x}{16}+1 \right).

Так как основание логафрима

11 > 1

, то

\log_{11}f(x)

-- возрастающая функция, значит:

(2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1 \right) \geqslant \dfrac{x}{16}+1;

\dfrac{x}{16}+2x^2+\dfrac{1}{32x}+1 \geqslant \dfrac{x}{16}+1;

2x^2+\dfrac{1}{32x} \geqslant0;

\dfrac{64x^3+1}{32x} \geqslant 0;

\dfrac{(4x+1)(16x^2-4x+1)}{32x} \geqslant 0.

Заметим, что множитель

(16x^2-4x+1)

всегда положителен, так как

D= 16-64=-48<0

и коэффициент перед

x^2

больше нуля, тогда неравенство примет вид:

\dfrac{4x+1}{32x} \geqslant0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

Пересекая решения неравенства с ОДЗ, получаем окончательный ответ:

x \in \left(-16; - \dfrac{1}{4} \right] \cup (0; + \infty).

Ответ:

\left(-16; - \dfrac{1}{4} \right] \cup (0; + \infty)

Похожие задачи