Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{3 x + 5}{3 x^{2} + 5 x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Найдём нули знаменателя. Вынесем

x

за скобки:

3 x^{2} + 5 x=x(3 x + 5).

Поэтому

x(3 x + 5)=0;\qquad x=0\quad\text{или}\quad 3 x + 5=0.

Из второго уравнения получаем

x=\frac{-5}{3}

. Следовательно, функция определена при

x\neq 0

x\neq \frac{-5}{3}

.

Сократим одинаковые множители

(3 x + 5)

y=\dfrac{3 x + 5}{x(3 x + 5)}=\dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим

x=\frac{-5}{3}

в упрощённую формулу:

y\left(\frac{-5}{3}\right)=\dfrac{1}{\frac{-5}{3}}=-0{,}6.

Следовательно, выколотая точка:

(\frac{-5}{3}; -0{,}6)

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=0

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=\dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

График функции:

Чтобы график функции имел одну общую точку с прямой

y=kx

, нужно, чтобы прямая проходила через выколотую точку. Подставим координаты выколотой точки

(\frac{-5}{3}; -0{,}6)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

-0{,}6=k\cdot \frac{-5}{3};

k=\frac{9}{25}.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

k \in \{\frac{9}{25}\}

Похожие задачи