Квадратичная, кубическая зависимость — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задачи с прикладным содержанием

ЕГКР 14.12.2023

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

T(t)=T_0+bt+at^2

, где

t

— время (в мин.),

T_0 = 700

К,

a = -15

К/мин

^2

b = 210

К/мин. При температуре нагревательного элемента свыше

1300

К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Ответ:

Решение

1. Записываем зависимость температуры от времени

По условию задачи температура нагревательного элемента изменяется по закону:

T(t) = T_0 + bt + at^2.

Подставляем известные значения:

T_0 = 700

К,

a = -15

К/мин

^2

b = 210

К/мин:

T(t) = 700 + 210t - 15t^2.

2. Составляем уравнение для нахождения момента достижения критической температуры

Прибор может испортиться при температуре свыше 1300 К, поэтому находим момент времени, когда температура становится равной 1300 К:

700 + 210t - 15t^2 = 1300.

3. Решаем уравнение

Переносим все члены в одну сторону:

-15t^2 + 210t + 700 - 1300 = 0.

-15t^2 + 210t - 600 = 0.

Умножаем на

-1

15t^2 - 210t + 600 = 0.

Делим на 15:

t^2 - 14t + 40 = 0.

4. Находим корни

Дискриминант:

D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36.

t = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{14 \pm 6}{2}.

t_1 = \frac{14 + 6}{2} = 10, \qquad t_2 = \frac{14 - 6}{2} = 4.

5. Анализируем ситуацию

Функция

T(t) = 700 + 210t - 15t^2

— это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при

t^2

отрицательный). Максимальное значение температура принимает в вершине параболы:

t_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{210}{2 \cdot (-15)} = -\frac{210}{-30} = 7.

При

t = 4

мин температура достигает 1300 К при нагревании, а при

t = 10

мин — при остывании. Между этими моментами температура превышает 1300 К. Поэтому прибор нужно отключить до того, как температура превысит критическое значение, то есть в момент

t = 4

мин.

6. Вывод

\boxed{4}

Квадратичная, кубическая зависимость — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи