Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача на моделированиеПрофиматика

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой

A=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}

, где

k=0{,}85

— коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны,

\theta_0=10^\circ

— угол наибольшего волнового склона,

\tau

— период волны (в секундах),

T=24

с — период свободных качаний корабля на тихой воде,

n=0{,}1568

— коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Решение

\textbf{1. Упростим выражение для амплитуды.}

Период волны положителен:

\tau>0

. Числитель содержит

\tau^2

, поэтому разделим числитель и знаменатель на

\tau^2

.
Под корнем это соответствует делению на

\tau^4

A=\frac{k\theta_0} {\sqrt{\left(\dfrac{T^2}{\tau^2}-1\right)^2+n\dfrac{T^2}{\tau^2}}}.

Числитель

k\theta_0

— положительная постоянная.
Следовательно, амплитуда максимальна, когда выражение под корнем в знаменателе минимально.

\textbf{2. Сделаем замену и найдём минимум.}

Обозначим

u=T^2/\tau^2

. При

\tau>0

переменная

u

принимает все положительные значения.
Тогда выражение под корнем равно

f(u)=(u-1)^2+0{,}1568u =u^2-1{,}8432u+1.

Выделим полный квадрат:

f(u)=(u-0{,}9216)^2+1-(0{,}9216)^2.

Квадрат неотрицателен, поэтому наименьшее значение

f(u)

достигается при

u=0{,}9216

. Это значение положительно, то есть допустимо.

\textbf{3. Вернёмся к периоду волны.}

\frac{24^2}{\tau^2}=0{,}9216=(0{,}96)^2.

Так как

\tau>0

, извлекаем положительный квадратный корень:

\frac{24}{\tau}=0{,}96,\qquad \tau=\frac{24}{0{,}96}=25\ \text{с}.

\textbf{Ответ:}

25

секунд.

Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи