Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача на моделированиеПрофиматика

Интенсивность излучения специальной антенны

I

в зависимости от частоты переменного тока

\omega

вычисляется по формуле

I(\omega)=\dfrac{\alpha\omega^2}{\omega^3+\beta}

, где

\alpha=15

— конструктивный параметр антенны,

\beta=4000

. При какой частоте

\omega

(в кГц) интенсивность излучения антенны будет наибольшей?

Решение

\textbf{1. Запишем функцию с числовыми параметрами.}

Для положительной частоты

\omega>0

имеем

I(\omega)=\frac{15\omega^2}{\omega^3+4000}.

Знаменатель положителен на всей области рассмотрения.

\textbf{2. Найдём производную.}

Воспользуемся правилом производной частного:

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.

I'(\omega)\mathrel{=}

Поскольку

\omega>0

, производная равна нулю, когда

8000-\omega^3=0,\qquad \omega^3=8000,\qquad \omega=20.

\textbf{3. Исследуем знак производной методом интервалов.}

При

\omega>0

знаменатель и множитель

15\omega

положительны. Поэтому знак производной определяется выражением

8000-\omega^3

Значит, максимальная интенсивность достигается при частоте

20

кГц.

\textbf{Ответ:}

20

кГц.

Похожие задачи