Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача на моделированиеПрофиматика

Расход топлива катера (в литрах в час) при скорости

v

км/ч задаётся формулой

Q(v)=1600+0{,}1v^3

. Расход топлива на один километр пути вычисляется по формуле

q=\dfrac{Q(v)}{v}

. При какой скорости

v

(в км/ч) расход топлива на один километр пути будет наименьшим?

Решение

\textbf{1. Запишем расход на километр.}

Нужно минимизировать не часовой расход

Q(v)

, а расход на единицу пути

q(v)

.
При движении

v>0

, поэтому

q(v)=\frac{1600+0{,}1v^3}{v} =\frac{1600}{v}+0{,}1v^2.

Здесь первый член уменьшается при увеличении скорости, а второй увеличивается.
Найдём скорость, при которой их сумма наименьшая.

\textbf{2. Найдём критическую точку.}

Используем правило

(v^m)'=mv^{m-1}

\begin{aligned} \left(\frac{1600}{v}\right)' &=(1600v^{-1})'=-\frac{1600}{v^2},\\ (0{,}1v^2)'&=0{,}2v. \end{aligned}

Следовательно,

q'(v)=-\frac{1600}{v^2}+0{,}2v =\frac{0{,}2v^3-1600}{v^2}.

Приравняем производную к нулю:

0{,}2v^3-1600=0, \qquad v^3=8000, \qquad v=20.

\textbf{3. Исследуем знак производной методом интервалов.}

При

v>0

знаменатель производной положителен, поэтому получаем:

Таким образом, при

v=20

км/ч расход на один километр минимален.
В ответе указываем скорость, а не расход.

\textbf{Ответ:}

20

км/ч.

Похожие задачи