15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
--- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
--- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
--- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1,5 млн рублей?
Решение
Пусть S млн рублей --- сумма кредита.
Так как кредит взят на 9 месяцев и долг каждый раз должен уменьшаться на одну и ту же величину, то каждый месяц после выплаты долг уменьшается на 9S млн рублей. Переведём проценты в десятичную дробь: 5%=0,05.
Составим таблицу. Все суммы указаны в млн рублей.
Сложим все выплаты.
В каждой выплате есть часть основного долга и начисленные проценты. Части основного долга за 9 месяцев в сумме дают весь кредит:
9⋅9S=S.
А сумма процентов равна
0,05S+0,05⋅98S+0,05⋅97S+…+0,05⋅9S.
Вынесем общий множитель:
0,05⋅9S(9+8+7+6+5+4+3+2+1).
Так как
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45,
то сумма процентов равна
0,05⋅9S⋅45=0,25S.
Тогда общая сумма выплат равна
S+0,25S=1,25S.
По условию общая сумма выплат составила 1,5 млн рублей, значит,
1,25S=1,5.
