Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача на моделированиеПрофиматика

На заводе имеется генератор с ЭДС

\varepsilon=120

В и внутренним сопротивлением

r=2

Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки

R

(в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома:

I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}

. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля--Ленца:

P=I^2R

. Какова максимальная тепловая мощность

P

, которая может быть выделена нагрузкой?

Решение

\textbf{1. Выразим мощность через сопротивление нагрузки.}

По смыслу задачи

R\geqslant 0

. Подставим закон Ома в формулу мощности:

I=\frac{120}{R+2},\qquad P(R)=I^2R=\frac{14400R}{(R+2)^2}.

Нужно найти наибольшее значение этой функции, а не просто сопротивление, при котором оно достигается.

\textbf{2. Найдём производную.}

Используем правило производной частного:

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.

P'(R)\mathrel{=}

При

R\geqslant0

знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением

2-R

. Критическая точка:

R=2

.
Исследуем знак производной методом интервалов:

Следовательно, мощность максимальна при

R=2

Ом.

\textbf{3. Вычислим максимальную мощность.}

P_{\max}=P(2)=\dfrac{14400\cdot2}{(2+2)^2} =\dfrac{28800}{16}=1800\ \text{Вт}.

\textbf{Ответ:}

1800

Вт.

Похожие задачи