Точка D не лежит в плоскости равностороннего треугольника ABC. При этом cos∠DAB=cos∠DAC=0,3.
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если известно, что AB=6.
Решение
а) Обозначим
α=∠DAB,β=∠DAC. По условию
cosα=cosβ=0,3. Так как углы α и β острые, то
α=β.
Опустим из точек B и C перпендикуляры BH1 и CH2 на прямую AD.
Тогда ∠AH1B=∠AH2C=90∘.
Рассмотрим прямоугольные △ABH1 и △ACH2. В них
AB=AC, так как треугольник ABC равносторонний, и
∠BAH1=∠CAH2. Следовательно, треугольники ABH1 и ACH2 равны по гипотенузе и острому углу.
Значит,
AH1=AH2иBH1=CH2.
Но точки H1 и H2 лежат на одной прямой AD, тогда
H1=H2. Обозначим эту точку через H.
Тогда
BH⊥ADиCH⊥AD. Значит, прямая AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BH и CH, лежащим в плоскости (BHC). Следовательно,
AD⊥(BHC). Так как прямая BC лежит в плоскости (BHC), то
AD⊥BC.
Что и требовалось доказать.
б)По условию треугольник ABC равносторонний, и AB=6, значит,
AC=BC=6.
Из пункта а) известно, что
BH=CH и
AD⊥(BHC).
Пусть M --- середина стороны BC. Тогда
BM=CM=3. Так как △BHC равнобедренный, то медиана HM, проведённая к основанию BC, является высотой, значит,
HM⊥BC. Кроме того, так как AD⊥(BHC), а прямая HM лежит в плоскости (BHC) и проходит через точку H, то
HM⊥AD.
Следовательно, HM --- общий перпендикуляр к прямым AD и BC, значит, расстояние между прямыми AD и BC равно HM.
Рассмотрим прямоугольный △AHC. В нём
cos∠DAC=ACAH=0,3=103. Тогда
AH=AC⋅cos∠DAC=6⋅103=59.
По теореме Пифагора
CH=AC2−AH2=62−(59)2=36−2581=25819=5391.
Теперь рассмотрим прямоугольный △CHM. В нём CM=3, поэтому
HM=CH2−CM2=(5391)2−32=25819−9=25594=5366.
Следовательно, расстояние между прямыми AD и BC равно
5366.
