Точка D не лежит в плоскости равностороннего треугольника ABC. При этом cos∠DAB=cos∠DAC=0,3.
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если известно, что AB=6.
Решение
а) Обозначимα=∠DAB,β=∠DAC.По условиюcosα=cosβ=0,3.Так как углы α и β острые, тоα=β.Опустим из точек B и C перпендикуляры BH1 и CH2 на прямую AD.
Тогда ∠AH1B=∠AH2C=90∘.
Рассмотрим прямоугольные △ABH1 и △ACH2. В нихAB=AC,так как треугольник ABC равносторонний, и∠BAH1=∠CAH2.Следовательно, треугольники ABH1 и ACH2 равны по гипотенузе и острому углу.
Значит,AH1=AH2иBH1=CH2.Но точки H1 и H2 лежат на одной прямой AD, тогдаH1=H2.Обозначим эту точку через H.
ТогдаBH⊥ADиCH⊥AD.Значит, прямая AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BH и CH, лежащим в плоскости (BHC). Следовательно,AD⊥(BHC).Так как прямая BC лежит в плоскости (BHC), тоAD⊥BC.Что и требовалось доказать.
б)По условию треугольник ABC равносторонний, и AB=6, значит,AC=BC=6.Из пункта а) известно, чтоBH=CHиAD⊥(BHC).Пусть M --- середина стороны BC. ТогдаBM=CM=3.Так как △BHC равнобедренный, то медиана HM, проведённая к основанию BC, является высотой, значит,HM⊥BC.Кроме того, так как AD⊥(BHC), а прямая HM лежит в плоскости (BHC) и проходит через точку H, тоHM⊥AD.
Следовательно, HM --- общий перпендикуляр к прямым AD и BC, значит, расстояние между прямыми AD и BC равно HM.
Рассмотрим прямоугольный △AHC. В нёмcos∠DAC=ACAH=0,3=103.ТогдаAH=AC⋅cos∠DAC=6⋅103=59.По теореме ПифагораCH=AC2−AH2=62−(59)2=36−2581=25819=5391.Теперь рассмотрим прямоугольный △CHM. В нём CM=3, поэтомуHM=CH2−CM2=(5391)2−32=25819−9=25594=5366.Следовательно, расстояние между прямыми AD и BC равно5366.Ответ: 5366.
