Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=x|x| + 3|x|-5x.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x=0

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<0

, тогда

|x|=-x

.
Получаем

y=- x^{2} - 8 x

.

Случай

2

x\geqslant 0

, тогда

|x|=x

.
Получаем

y=x^{2} - 2 x

.

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей:

y=\begin{cases}- x^{2} - 8 x, & x<0,\\x^{2} - 2 x, & x\geqslant 0.\end{cases}

В граничной точке

x=0

проверим значения обеих формул:

y_1(0)=- 0^{2} - 8\cdot 0=0,\qquad y_2(0)=0^{2} - 2\cdot 0=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(0; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=- x^{2} - 8 x

имеем

a=-1

b=-8

c=0

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-8}{2\cdot(-1)}=-4.

y_0=-1\cdot(-4)^2-8\cdot(-4)+0=16.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-4; 16)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=x^{2} - 2 x

имеем

a=1

b=-2

c=0

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot(1)}=1.

y_0=1\cdot(1)^2-2\cdot(1)+0=-1.

Следовательно, вершина имеет координаты

(1; -1)

.

Таблица значений для правой ветви:

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно две общие точки при

m \in \{-1\} \cup\{16\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи