Постройте график функции \[ y=-2 - \dfrac{x… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=-2 - \dfrac{x + 4}{x^{2} + 4 x}.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

не имеет с графиком общих точек.

Ответ:

Решение

Функция определена при тех значениях

x

, при которых знаменатель не обращается в нуль. Получаем:

x\neq -4

x\neq 0

.

Преобразуем выражение, сокращая общий множитель:

y=- \dfrac{2 x + 1}{x}=-2 - \dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки:

(-4; -1{,}75)

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=-2

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=-2 - \dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

x

-4

-2

-1

1

2

4

y

-1{,}75

-1{,}5

-1

-3

-2{,}5

-2{,}25

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Она не имеет общих точек с графиком, если совпадает с горизонтальной асимптотой или проходит через выколотую точку.
Следовательно,

m \in \{-2\} \cup \{-1{,}75\}

.

График для анализа значений параметра: