Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике
Условие, ответ и разбор задачи
Неравенства
ФИПИ
Решите неравенствоlog22x−36log2(4x2)+35⩾−1.
Решение
Для существования левой части неравенства необходимо выполнение условия x>0.
Преобразуем неравенство с помощью формулы логарифма произведения:log22x−36log24+log2x2+35⩾−1.Так как x>0, тоlog22x−362log2x+37⩾−1.Сделаем замену log2x=t:t2−362t+37⩾−1;t2−362t+37+1⩾0;t2−362t+37+t2−36⩾0;t2−36t2+2t+1⩾0;(t−6)(t+6)(t+1)2⩾0.Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:
Получаем:t∈(−∞;−6)∪{−1}∪(6;+∞).Сделаем обратную замену и воспользуемся монотонностью логарифма:log2x<−6,log2x=−1,log2x>6.⇒log2x<log2641,log2x=log221,log2x>log264.⇒0<x<641,x=21,x>64.Получаем: x∈(0;641)∪{21}∪(64;+∞).
