Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2023
Скопировать ссылку
9e4b7560
Решите неравенство
log
0,1
(
x
3
−
5
x
2
−
25
x
+
125
)
⩽
log
0,01
(
x
−
5
)
4
.
\log_{0{,}1}(x^3-5x^2-25x+125)\leqslant \log_{0{,}01}(x-5)^4.
lo
g
0
,
1
(
x
3
−
5
x
2
−
25
x
+
125
)
⩽
lo
g
0
,
01
(
x
−
5
)
4
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Преобразуем обе части неравенства.
Сначала разложим выражение в левой части на множители:
x
3
−
5
x
2
−
25
x
+
125
=
x
2
(
x
−
5
)
−
25
(
x
−
5
)
.
x^3-5x^2-25x+125=x^2(x-5)-25(x-5).
x
3
−
5
x
2
−
25
x
+
125
=
x
2
(
x
−
5
)
−
25
(
x
−
5
)
.
Выносим общий множитель:
x
3
−
5
x
2
−
25
x
+
125
=
(
x
−
5
)
(
x
2
−
25
)
.
x^3-5x^2-25x+125=(x-5)(x^2-25).
x
3
−
5
x
2
−
25
x
+
125
=
(
x
−
5
)
(
x
2
−
25
)
.
Далее:
x
3
−
5
x
2
−
25
x
+
125
=
(
x
−
5
)
(
x
−
5
)
(
x
+
5
)
=
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
)
.
x^3-5x^2-25x+125=(x-5)(x-5)(x+5)=(x-5)^2(x+5).
x
3
−
5
x
2
−
25
x
+
125
=
(
x
−
5
)
(
x
−
5
)
(
x
+
5
)
=
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
)
.
Теперь преобразуем правую часть:
0,01
=
(
0,1
)
2
,
(
x
−
5
)
4
=
(
(
x
−
5
)
2
)
2
.
0{,}01=(0{,}1)^2,\qquad (x-5)^4=\bigl((x-5)^2\bigr)^2.
0
,
01
=
(
0
,
1
)
2
,
(
x
−
5
)
4
=
(
(
x
−
5
)
2
)
2
.
Поэтому
log
0,01
(
x
−
5
)
4
=
log
(
0,1
)
2
(
(
x
−
5
)
2
)
2
=
log
0,1
(
x
−
5
)
2
.
\log_{0{,}01}(x-5)^4=\log_{(0{,}1)^2}\bigl((x-5)^2\bigr)^2=\log_{0{,}1}(x-5)^2.
lo
g
0
,
01
(
x
−
5
)
4
=
lo
g
(
0
,
1
)
2
(
(
x
−
5
)
2
)
2
=
lo
g
0
,
1
(
x
−
5
)
2
.
Тогда исходное неравенство принимает вид
log
0,1
(
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
)
)
⩽
log
0,1
(
x
−
5
)
2
.
\log_{0{,}1}\bigl((x-5)^2(x+5)\bigr)\leqslant \log_{0{,}1}(x-5)^2.
lo
g
0
,
1
(
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
)
)
⩽
lo
g
0
,
1
(
x
−
5
)
2
.
Так как основание логарифма
0,1
<
1
0{,}1<1
0
,
1
<
1
,
функция
log
0,1
t
\log_{0{,}1}t
lo
g
0
,
1
t
убывает. Значит,
{
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
)
⩾
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
2
>
0.
\begin{cases}
(x-5)^2(x+5)\geqslant (x-5)^2,\\
(x-5)^2>0.
\end{cases}
{
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
)
⩾
(
x
−
5
)
2
,
(
x
−
5
)
2
>
0.
Второе условие дает:
x
≠
5.
x\neq 5.
x
=
5.
Первое неравенство преобразуем:
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
)
−
(
x
−
5
)
2
⩾
0
,
(x-5)^2(x+5)-(x-5)^2\geqslant 0,
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
)
−
(
x
−
5
)
2
⩾
0
,
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
−
1
)
⩾
0
,
(x-5)^2(x+5-1)\geqslant 0,
(
x
−
5
)
2
(
x
+
5
−
1
)
⩾
0
,
(
x
−
5
)
2
(
x
+
4
)
⩾
0.
(x-5)^2(x+4)\geqslant 0.
(
x
−
5
)
2
(
x
+
4
)
⩾
0.
Воспользуемся методом интервалов с учетом ОДЗ:
Значит,
x
∈
[
−
4
;
5
)
∪
(
5
;
+
∞
)
.
x\in[-4;5)\cup(5;+\infty).
x
∈
[
−
4
;
5
)
∪
(
5
;
+
∞
)
.
Ответ:
[
−
4
;
5
)
∪
(
5
;
+
∞
)
[-4;5)\cup(5;+\infty)
[
−
4
;
5
)
∪
(
5
;
+
∞
)
.
