Дан остроугольный треугольник ABC. В нём высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1=∠ACB.
б) Найдите BC, если AH=83 и ∠BAC=60∘.
Решение
а) Пусть ∠A1AC=α, тогда из суммы углов треугольников A1AC и HAB1 следует, что
∠AHB1=∠ACA1=90∘−α. Что и требовалось доказать.
б)
Из доказанного ранее факта № 2 следует, что
BCB1C1=cos60∘⇒BC=cos60∘B1C1. По теореме синусов в △AB1C1: sin60∘B1C1=2R=AH⇒B1C1=AHsin60∘. Таким образом,
BC=cos60∘AHsin60∘=AHtg60∘=83⋅3=24.
Альтернативное решение пункта б:
Пусть OM --- расстояние от точки O до стороны BC.
Тогда из доказанного ранее факта № 1 следует, что OM=21AH=43. В равнобедренном треугольнике BOC:∠OBC=∠OCB=30∘. Тогда по определению тангенса в △BOM: tgOBM=BMOM⇒BM=tg30∘OM=3343=12. Таким образом, BC=2BM=24.
