Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм. На рёбрах A1B1,B1C1,BC отмечены точки M,K и N соответственно, причём B1K:KC1=1:2, а AMKN --- равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что N --- середина BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы ABCDA1B1C1D1 равен 12, а её высота равна 2.
Решение
а) Так как AMKN --- трапеция, то её основания параллельны:
MK∥AN.
Рассмотрим треугольники △MKB1 и △ANB.
Имеем:
MK∥AN,B1K∥BN,MB1∥AB.
Значит, треугольники △MKB1 и △ANB подобны.
По условию основания трапеции равны 2 и 3, то есть
MK=2,AN=3. Так как B1K:KC1=1:2, обозначим
B1K=x,KC1=2x, следовательно,
B1C1=3x.
А так как призма прямая, то соответствующие рёбра оснований равны:
BC=B1C1=3x.
Из подобия треугольников △MKB1 и △ANB получаем:
ANMK=BNB1K.
Подставим известные величины:
32=BNx.
Отсюда
BN=23x.
Тогда
NC=BC−BN=3x−23x=23x.
Итак,
BN=NC.
Что и требовалось доказать.
б) Продолжим боковые стороны трапеции AMKN до пересечения и обозначим
AM∩KN=T.
Так как AM лежит в плоскости (ABB1A1), а KN лежит в (BCC1B1), то точка T лежит одновременно в плоскостях (ABB1A1) и (BCC1B1).
Эти плоскости пересекаются по прямой BB1, значит,
T∈BB1. Из пункта а) знаем, что
B1K=x,BN=23x. Так как B1K и BN лежат на параллельных рёбрах B1C1 и BC, то
B1K∥BN.
Значит,
△TB1K∼△TBN.
Поэтому
TBTB1=BNB1K=23xx=32.
Тогда
TB1=32TB.
Но
BB1=2, то есть
TB−TB1=2.
Значит,
TB−32TB=2, 31TB=2,TB=6.
Теперь рассмотрим треугольник △ABN. Опустим из точки B перпендикуляр BH на прямую AN.
Так как N --- середина BC, а площадь параллелограмма ABCD равна
SABCD=hV=212=6, то
S△ABN=41SABCD=46=23.
С другой стороны,
S△ABN=21⋅AN⋅BH.
Так как AN=3, получаем:
21⋅3⋅BH=23, откуда
BH=1.
Теперь рассмотрим плоскость BTH.
Так как BT⊥(ABCD), то BT⊥AN. Кроме того, BH⊥AN по построению.
Значит, прямая AN перпендикулярна двум пересекающимся прямым BH и BT, лежащим в плоскости BTH, следовательно,
AN⊥(BTH).
Так как AN⊂(AMKN), то плоскости (BTH) и (AMKN) перпендикулярны,
а их линия пересечения --- прямая TH.
Пусть O --- основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую TH. Следовательно, так как плоскости (BTH) и (AMKN) перпендикулярны, то BO --- расстояние от точки B до плоскости (AMKN).
В прямоугольном треугольнике △BTH имеем:
TH=BH2+BT2=12+62=37.
Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, равна
BO=THBH⋅BT=371⋅6=376.
Теперь найдём объём тетраэдра ABNT двумя способами.
С одной стороны,
VABNT=31S△ABN⋅BT=31⋅23⋅6=3.
С другой стороны, если взять за основание треугольник ANT, то
VABNT=31S△ANT⋅BO.
Тогда
3=31S△ANT⋅376, откуда
S△ANT=2337.
Так как △TKM∼△TAN с коэффициентом подобия 32, то
S△TKM=(32)2S△TAN=94S△TAN.
Следовательно, площадь трапеции AMKN равна
SAMKN=S△TAN−S△TKM=S△TAN−94S△TAN=95S△TAN.
