Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм. На рёбрах A1B1,B1C1,BC отмечены точки M,K и N соответственно, причём B1K:KC1=1:2, а AMKN --- равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что N --- середина BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы ABCDA1B1C1D1 равен 12, а её высота равна 2.
Решение
а) Так как AMKN --- трапеция, то её основания параллельны:MK∥AN.Рассмотрим треугольники △MKB1 и △ANB.
Имеем:MK∥AN,B1K∥BN,MB1∥AB.Значит, треугольники △MKB1 и △ANB подобны.
По условию основания трапеции равны 2 и 3, то естьMK=2,AN=3.Так как B1K:KC1=1:2, обозначимB1K=x,KC1=2x,следовательно,B1C1=3x.
А так как призма прямая, то соответствующие рёбра оснований равны:BC=B1C1=3x.Из подобия треугольников △MKB1 и △ANB получаем:ANMK=BNB1K.Подставим известные величины:32=BNx.ОтсюдаBN=23x.ТогдаNC=BC−BN=3x−23x=23x.Итак,BN=NC.Что и требовалось доказать.
б) Продолжим боковые стороны трапеции AMKN до пересечения и обозначимAM∩KN=T.Так как AM лежит в плоскости (ABB1A1), а KN лежит в (BCC1B1), то точка T лежит одновременно в плоскостях (ABB1A1) и (BCC1B1).
Эти плоскости пересекаются по прямой BB1, значит,T∈BB1.Из пункта а) знаем, чтоB1K=x,BN=23x.Так как B1K и BN лежат на параллельных рёбрах B1C1 и BC, тоB1K∥BN.Значит,△TB1K∼△TBN.ПоэтомуTBTB1=BNB1K=23xx=32.ТогдаTB1=32TB.НоBB1=2,то естьTB−TB1=2.Значит,TB−32TB=2,31TB=2,TB=6.Теперь рассмотрим треугольник △ABN. Опустим из точки B перпендикуляр BH на прямую AN.
Так как N --- середина BC, а площадь параллелограмма ABCD равнаSABCD=hV=212=6,тоS△ABN=41SABCD=46=23.С другой стороны,S△ABN=21⋅AN⋅BH.Так как AN=3, получаем:21⋅3⋅BH=23,откудаBH=1.Теперь рассмотрим плоскость BTH.
Так как BT⊥(ABCD), то BT⊥AN. Кроме того, BH⊥AN по построению. Значит, прямая AN перпендикулярна двум пересекающимся прямым BH и BT, лежащим в плоскости BTH, следовательно,AN⊥(BTH).Так как AN⊂(AMKN), то плоскости (BTH) и (AMKN) перпендикулярны, а их линия пересечения --- прямая TH.
Пусть O --- основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую TH. Следовательно, так как плоскости (BTH) и (AMKN) перпендикулярны, то BO --- расстояние от точки B до плоскости (AMKN).
В прямоугольном треугольнике △BTH имеем:TH=BH2+BT2=12+62=37.Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, равнаBO=THBH⋅BT=371⋅6=376.Теперь найдём объём тетраэдра ABNT двумя способами.
С одной стороны,VABNT=31S△ABN⋅BT=31⋅23⋅6=3.С другой стороны, если взять за основание треугольник ANT, тоVABNT=31S△ANT⋅BO.Тогда3=31S△ANT⋅376,откудаS△ANT=2337.Так как △TKM∼△TAN с коэффициентом подобия 32, тоS△TKM=(32)2S△TAN=94S△TAN.Следовательно, площадь трапеции AMKN равнаSAMKN=S△TAN−S△TKM=S△TAN−94S△TAN=95S△TAN.Значит,SAMKN=95⋅2337=6537.Ответ: 6537.
