Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2023 (основа)

Основанием прямой призмы

ABCDA_1B_1C_1D_1

является параллелограмм. На рёбрах

A_1B_1

B_1C_1

BC

отмечены точки

M

K

N

соответственно, причём

B_1K:KC_1=1:2

, а

AMKN

— равнобедренная трапеция с основаниями

2

3

.

а) Докажите, что

N

— середина

BC

.

б) Найдите площадь трапеции

AMKN

, если объём призмы

ABCDA_1B_1C_1D_1

равен

12

, а её высота равна

2

Решение

а) Так как

AMKN

— трапеция, то её основания параллельны:

MK\parallel AN.

Рассмотрим треугольники

\triangle MKB_1

\triangle ANB

.

Имеем:

MK\parallel AN,\qquad B_1K\parallel BN,\qquad MB_1\parallel AB.

Значит, треугольники

\triangle MKB_1

\triangle ANB

подобны.

По условию основания трапеции равны

2

3

, то есть

MK=2,\qquad AN=3.

Так как

B_1K:KC_1=1:2

, обозначим

B_1K=x, \qquad KC_1=2x,

следовательно,

B_1C_1=3x.

А так как призма прямая, то соответствующие рёбра оснований равны:

BC=B_1C_1=3x.

Из подобия треугольников

\triangle MKB_1

\triangle ANB

получаем:

\dfrac{MK}{AN}=\dfrac{B_1K}{BN}.

Подставим известные величины:

\dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{BN}.

Отсюда

BN=\dfrac{3x}{2}.

Тогда

NC=BC-BN=3x-\dfrac{3x}{2}=\dfrac{3x}{2}.

Итак,

BN=NC.

Что и требовалось доказать.

б) Продолжим боковые стороны трапеции

AMKN

до пересечения и обозначим

AM\cap KN=T.

Так как

AM

лежит в плоскости

(ABB_1A_1)

, а

KN

лежит в

(BCC_1B_1)

, то точка

T

лежит одновременно в плоскостях

(ABB_1A_1)

(BCC_1B_1)

.

Эти плоскости пересекаются по прямой

BB_1

, значит,

T\in BB_1.

Из пункта а) знаем, что

B_1K = x, \qquad BN=\dfrac{3x}{2}.

Так как

B_1K

BN

лежат на параллельных рёбрах

B_1C_1

BC

, то

B_1K\parallel BN.

Значит,

\triangle TB_1K\sim\triangle TBN.

Поэтому

\dfrac{TB_1}{TB}=\dfrac{B_1K}{BN}=\dfrac{x}{\dfrac{3x}{2}}=\dfrac23.

Тогда

TB_1=\dfrac23TB.

Но

BB_1=2,

то есть

TB-TB_1=2.

Значит,

TB-\dfrac23TB=2,

\dfrac13TB=2,

TB=6.

Теперь рассмотрим треугольник

\triangle ABN

. Опустим из точки

B

перпендикуляр

BH

на прямую

AN

.

Так как

N

— середина

BC

, а площадь параллелограмма

ABCD

равна

S_{ABCD}=\dfrac{V}{h}=\dfrac{12}{2}=6,

то

S_{\triangle ABN}=\dfrac14 S_{ABCD}=\dfrac{6}{4}=\dfrac32.

С другой стороны,

S_{\triangle ABN}=\dfrac12\cdot AN\cdot BH.

Так как

AN=3

, получаем:

\dfrac12\cdot3\cdot BH=\dfrac32,

откуда

BH=1.

Теперь рассмотрим плоскость

BTH

.

Так как

BT\perp (ABCD)

, то

BT\perp AN

.
Кроме того,

BH\perp AN

по построению.
Значит, прямая

AN

перпендикулярна двум пересекающимся прямым

BH

BT

,
лежащим в плоскости

BTH

, следовательно,

AN\perp (BTH).

Так как

AN\subset (AMKN)

, то плоскости

(BTH)

(AMKN)

перпендикулярны,
а их линия пересечения — прямая

TH

.

Пусть

O

— основание перпендикуляра, опущенного из точки

B

на прямую

TH

.
Следовательно, так как плоскости

(BTH)

(AMKN)

перпендикулярны, то

BO

— расстояние от точки

B

до плоскости

(AMKN)

.

В прямоугольном треугольнике

\triangle BTH

имеем:

TH=\sqrt{BH^2+BT^2}=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}.

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, равна

BO=\dfrac{BH\cdot BT}{TH}=\dfrac{1\cdot6}{\sqrt{37}}=\dfrac{6}{\sqrt{37}}.

Теперь найдём объём тетраэдра

ABNT

двумя способами.

С одной стороны,

V_{ABNT}=\dfrac13 S_{\triangle ABN}\cdot BT=\dfrac13\cdot\dfrac32\cdot6=3.

С другой стороны, если взять за основание треугольник

ANT

, то

V_{ABNT}=\dfrac13 S_{\triangle ANT}\cdot BO.

Тогда

3=\dfrac13 S_{\triangle ANT}\cdot\dfrac{6}{\sqrt{37}},

откуда

S_{\triangle ANT}=\dfrac{3\sqrt{37}}{2}.

Так как

\triangle TKM\sim\triangle TAN

с коэффициентом подобия

\dfrac23

,
то

S_{\triangle TKM}=\left(\dfrac23\right)^2 S_{\triangle TAN}=\dfrac49 S_{\triangle TAN}.

Следовательно, площадь трапеции

AMKN

равна

S_{AMKN}=S_{\triangle TAN}-S_{\triangle TKM}=S_{\triangle TAN}-\dfrac49 S_{\triangle TAN}=\dfrac59 S_{\triangle TAN}.

Значит,

S_{AMKN}=\dfrac59\cdot\dfrac{3\sqrt{37}}{2}=\dfrac{5\sqrt{37}}{6}.

Ответ:

\dfrac{5\sqrt{37}}{6}

Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи