Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2023 (основа)

Дана прямая призма

ABCA_1B_1C_1

ABC

— равнобедренный треугольник с основанием

AB

. На

AB

отмечена точка

P

такая, что

AP:PB=3:1

. Точка

Q

делит пополам ребро

B_1C_1

. Точка

M

делит пополам ребро

BC

. Через точку

M

проведена плоскость

\alpha

, перпендикулярная

PQ

.

а) Докажите, что прямая

AB

параллельна плоскости

\alpha

.

б) Найдите отношение, в котором плоскость

\alpha

делит

PQ

, если

AA_1=5

AB=12

\cos\angle ABC=\dfrac35

Решение

Обозначим через

H

середину отрезка

AB

. Так как

ABC

— равнобедренный треугольник с основанием

AB

, то медиана

CH

является высотой, то есть

CH\perp AB.

Из условия знаем, что

AP:PB=3:1

. Пусть

PB=x

, тогда

AP=3x

, значит,

AB=4x.

Так как

H

— середина

AB

, получаем

AH=HB=2x.

Тогда

HP=HB-PB=2x-x=x,

то есть точка

P

является серединой отрезка

HB

.

По условию точка

M

— середина отрезка

BC

.

Рассмотрим

\triangle HBC

. В нём точки

P

M

являются серединами сторон

HB

BC

, значит, отрезок

PM

— средняя линия

\triangle HBC

. Следовательно,

PM\parallel HC.

Но

HC\perp AB

, значит, и

PM\perp AB.

Так как призма прямая, боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Точка

Q

— середина ребра

B_1C_1

, а точка

M

— середина ребра

BC

, поэтому

QM\parallel BB_1,

следовательно,

QM\perp (ABC).

Значит,

M

есть ортогональная проекция точки

Q

на плоскость

(ABC)

, и потому

PM

— ортогональная проекция отрезка

PQ

на плоскость

(ABC)

.

Так как

PM\perp AB,

то, по теореме о трёх перпендикулярах,

PQ\perp AB.

По условию плоскость

\alpha

проходит через точку

M

и перпендикулярна

PQ

, то есть

PQ\perp\alpha.

Итак, прямая

AB

перпендикулярна прямой

PQ

, которая перпендикулярна плоскости

\alpha

. Значит,

AB\parallel\alpha.

Что и требовалось доказать.

б) Обозначим через

R

точку пересечения плоскости

\alpha

и отрезка

PQ

Так как плоскость

\alpha

перпендикулярна прямой

PQ

, то

MR\perp PQ.

То есть в треугольнике

\triangle PMQ

отрезок

MR

является высотой, проведенной к стороне

PQ

.

Из пункта а) у нас точка

H

— середина

AB

, а точка

P

— середина

HB

.

Так как

AB=12

,
то

BH=6,\qquad PB=3.

В прямоугольном

\triangle BPM

имеем:

\cos\angle ABC=\dfrac{PB}{BM}=\dfrac35.

Значит,

\dfrac{3}{BM}=\dfrac35,

откуда

BM=5.

Тогда

PM=\sqrt{BM^2-PB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4.

Так как призма прямая, а

Q

M

— середины соответствующих рёбер

B_1C_1

BC

, то

QM=AA_1=5.

Получаем прямоугольный треугольник

\triangle PMQ

, в котором

PM=4,\qquad QM=5.

По теореме Пифагора:

PQ=\sqrt{PM^2+QM^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}.

Так как

MR

— высота, она равна отношению произведения катетов на гипотенузу:

MR=\dfrac{4\cdot5}{\sqrt{41}}=\dfrac{20}{\sqrt{41}}.

Теперь найдем отрезки

PR

RQ

.

В прямоугольном треугольнике

\triangle PMR

по теореме Пифагора:

PR^2=PM^2-MR^2=4^2-\left(\dfrac{20}{\sqrt{41}}\right)^2=16-\dfrac{400}{41}=\dfrac{656-400}{41}=\dfrac{256}{41}.

Значит,

PR=\dfrac{16}{\sqrt{41}}.

В прямоугольном треугольнике

\triangle QMR

RQ^2=QM^2-MR^2=5^2-\left(\dfrac{20}{\sqrt{41}}\right)^2=25-\dfrac{400}{41}=\dfrac{1025-400}{41}=\dfrac{625}{41}.

Значит,

RQ=\dfrac{25}{\sqrt{41}}.

Следовательно,

PR:RQ=\dfrac{16}{\sqrt{41}}:\dfrac{25}{\sqrt{41}}=16:25.

Ответ:

16:25

Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи