Дана прямая призма ABCA1B1C1.ABC --- равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP:PB=3:1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ.
а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит PQ, если AA1=5,AB=12,cos∠ABC=53.
Решение
Обозначим через H середину отрезка AB. Так как ABC --- равнобедренный треугольник с основанием AB, то медиана CH является высотой, то естьCH⊥AB.Из условия знаем, что AP:PB=3:1. Пусть PB=x, тогда AP=3x, значит,AB=4x.Так как H --- середина AB, получаемAH=HB=2x.ТогдаHP=HB−PB=2x−x=x,то есть точка P является серединой отрезка HB.
По условию точка M --- середина отрезка BC.
Рассмотрим △HBC. В нём точки P и M являются серединами сторон HB и BC, значит, отрезок PM --- средняя линия △HBC. Следовательно,PM∥HC.Но HC⊥AB, значит, иPM⊥AB.Так как призма прямая, боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Точка Q --- середина ребра B1C1, а точка M --- середина ребра BC, поэтомуQM∥BB1,следовательно,QM⊥(ABC).Значит, M есть ортогональная проекция точки Q на плоскость (ABC), и потому PM --- ортогональная проекция отрезка PQ на плоскость (ABC).
Так какPM⊥AB,то, по теореме о трёх перпендикулярах,PQ⊥AB.По условию плоскость α проходит через точку M и перпендикулярна PQ, то естьPQ⊥α.Итак, прямая AB перпендикулярна прямой PQ, которая перпендикулярна плоскости α. Значит,AB∥α.Что и требовалось доказать.
б) Обозначим через R точку пересечения плоскости α и отрезка PQ.
Так как плоскость α перпендикулярна прямой PQ, тоMR⊥PQ.То есть в треугольнике △PMQ отрезок MR является высотой, проведенной к стороне PQ.
Из пункта а) у нас точка H --- середина AB, а точка P --- середина HB.
Так как AB=12, тоBH=6,PB=3.В прямоугольном △BPM имеем:cos∠ABC=BMPB=53.Значит,BM3=53,откудаBM=5.ТогдаPM=BM2−PB2=52−32=16=4.Так как призма прямая, а Q и M --- середины соответствующих рёбер B1C1 и BC, тоQM=AA1=5.Получаем прямоугольный треугольник △PMQ, в которомPM=4,QM=5.По теореме Пифагора:PQ=PM2+QM2=42+52=41.Так как MR --- высота, она равна отношению произведения катетов на гипотенузу:MR=414⋅5=4120.Теперь найдем отрезки PR и RQ.
В прямоугольном треугольнике △PMR по теореме Пифагора:PR2=PM2−MR2=42−(4120)2=16−41400=41656−400=41256.Значит,PR=4116.В прямоугольном треугольнике △QMR:RQ2=QM2−MR2=52−(4120)2=25−41400=411025−400=41625.Значит,RQ=4125.Следовательно,PR:RQ=4116:4125=16:25.Ответ: 16:25.
