Дана прямая призма ABCA1B1C1.ABC --- равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP:PB=3:1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ.
а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит PQ, если AA1=5,AB=12,cos∠ABC=53.
Решение
Обозначим через H середину отрезка AB. Так как ABC --- равнобедренный треугольник с основанием AB, то медиана CH является высотой, то есть
CH⊥AB.
Из условия знаем, что AP:PB=3:1. Пусть PB=x, тогда AP=3x, значит,
AB=4x.
Так как H --- середина AB, получаем
AH=HB=2x.
Тогда
HP=HB−PB=2x−x=x, то есть точка P является серединой отрезка HB.
По условию точка M --- середина отрезка BC.
Рассмотрим △HBC. В нём точки P и M являются серединами сторон HB и BC, значит, отрезок PM --- средняя линия △HBC. Следовательно,
PM∥HC.
Но HC⊥AB, значит, и
PM⊥AB.
Так как призма прямая, боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Точка Q --- середина ребра B1C1, а точка M --- середина ребра BC, поэтому
QM∥BB1, следовательно,
QM⊥(ABC).
Значит, M есть ортогональная проекция точки Q на плоскость (ABC), и потому PM --- ортогональная проекция отрезка PQ на плоскость (ABC).
Так как
PM⊥AB, то, по теореме о трёх перпендикулярах,
PQ⊥AB.
По условию плоскость α проходит через точку M и перпендикулярна PQ, то есть
PQ⊥α.
Итак, прямая AB перпендикулярна прямой PQ, которая перпендикулярна плоскости α. Значит,
AB∥α.
Что и требовалось доказать.
б) Обозначим через R точку пересечения плоскости α и отрезка PQ.
Так как плоскость α перпендикулярна прямой PQ, то
MR⊥PQ.
То есть в треугольнике △PMQ отрезок MR является высотой, проведенной к стороне PQ.
Из пункта а) у нас точка H --- середина AB, а точка P --- середина HB.
Так как AB=12, то
BH=6,PB=3.
В прямоугольном △BPM имеем:
cos∠ABC=BMPB=53.
Значит,
BM3=53, откуда
BM=5.
Тогда
PM=BM2−PB2=52−32=16=4.
Так как призма прямая, а Q и M --- середины соответствующих рёбер B1C1 и BC, то
QM=AA1=5.
Получаем прямоугольный треугольник △PMQ, в котором
PM=4,QM=5.
По теореме Пифагора:
PQ=PM2+QM2=42+52=41.
Так как MR --- высота, она равна отношению произведения катетов на гипотенузу:
MR=414⋅5=4120.
Теперь найдем отрезки PR и RQ.
В прямоугольном треугольнике △PMR по теореме Пифагора:
PR2=PM2−MR2=42−(4120)2=16−41400=41656−400=41256.
Значит,
PR=4116.
В прямоугольном треугольнике △QMR: RQ2=QM2−MR2=52−(4120)2=25−41400=411025−400=41625.
