Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияСтатГрад 11.02.2025

В правильной четырёхугольной призме

ABCDA_1B_1C_1D_1

сторона

AB

основания равна

5

, а боковое ребро

AA_1

равно

\sqrt5

. На рёбрах

BC

C_1D_1

отмечены точки

K

L

соответственно, причём

BK= C_1L= 2

. Плоскость

\gamma

параллельна прямой

BD

и содержит точки

K

L

.

а) Докажите, что прямая

A_1C

перпендикулярна плоскости

\gamma

.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка

A_1

, а основание — сечение данной призмы плоскостью

\gamma

Решение

а) Проведём прямые

KK_1

LL_1

, параллельные прямой

BD

, где

K_1 \in CD

L_1 \in B_1C_1

, тогда

KK_1LL_1

— сечение призмы плоскостью

\gamma

Так как

ABCD

— квадрат, то

BD \perp AC

как диагонали. Заметим, что

AC

— проекция наклонной

A_1C

на плоскость основания

ABCD

, следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах

A_1C \perp BD \Rightarrow A_1C \perp KK_1,

так как

BD \parallel KK_1

.

Пусть

W

— точка пересечения прямых

AC

KK_1

, а

W_1

— прямых

A_1C_1

LL_1

. По теореме Фалеса для пересекающихся прямых

BC

CD

и параллельных прямых

KK_1

BD

\dfrac{CK_1}{KD_1} = \dfrac{CK}{KB}= \dfrac{3}{2} \Rightarrow CK_1 = 3, \ KD_1 =2.

Аналогично,

CL_1 =2, \ LD_1 = 3.

Также по теореме Фалеса:

\dfrac{C_1W_1}{W_1O_1} = \dfrac{C_1L}{LD_1} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow C_1W_1 = 2x, \ W_1O_1 = 3x.

\dfrac{CW}{WO} = \dfrac{CK}{KB} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow CW = 3x, \ WO = 2x.

Так как

AC=A_1C_1 = 5\sqrt{2}

, то

2x+3x+5x=5\sqrt{2};

x= \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Таким образом,

C_1W_1 = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2};

W_1O_1 = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2};

CW = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2};

WO = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.

Рассмотрим плоскость

AA_1C_1C

Проведём прямую, параллельную прямой

WW_1

и пересекающую прямую

A_1C_1

в точке

W_2

WCW_2W_1

— параллелограм, значит

WC=W_1W_2 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \ и \ \angle A_1CW_2 = \angle A_1TW_1 \ (как соответственные).

Также

C_1W_2 = W_1W_2-W_1C_1 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2};

A_1W_2 = A_1C_1+C_1W_2= 5\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}= \dfrac{11\sqrt{2}}{2}.

По теореме Пифагора в

\triangle AA_1C

A_1C = \sqrt{AA_1^2+AC^2} = \sqrt{5+50} = \sqrt{55}.

По теореме Пифагора в

\triangle CC_1W_2

CW_2 = \sqrt{CC_1^2+C_1W_2^2} = \sqrt{5+\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{11}{2}}.

По теореме, обратной теореме Пифагора, проверим:

A_1C^2 + CW_2^2 = A_1W_2^2;

55+\dfrac{11}{2} = \dfrac{121}{2} - верно.

Следовательно,

\angle A_1CW_2 = 90^\circ = \angle A_1TW_1

, то есть

A_1C \perp WW_1

.

Таким образом,

A_1C \perp BD

A_1C \perp WW_1

, значит

A_1C \perp KK_1LL_1.

Что и требовалось доказать.
б) Треубется найти объём пирамиды

A_1KK_1LL_1

V_{A_1KK_1LL_1} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{KK_1LL_1} \cdot A_1T,

где

A_1T

— высота пирамиды, так как

A_1T \perp KK_1LL_1

Вернёмся к плоскости

AA_1C_1C

из пункта а):

\triangle A_1OW \sim \triangle CWT

(по двум углам):

\angle A_1TW_1 = \angle CTW, \ \angle A_1W_1T = \angle TWC

. Тогда

\dfrac{A_1T}{TC}=\dfrac{A_1W_1}{WC}=\dfrac{8}{3} \Rightarrow A_1T = \dfrac{8}{11}A_1C = \dfrac{8}{11}\sqrt{55}.

Найдём

S_{KK_1LL_1}

WW_1

— высота равнобедренной трапеции

KK_1LL_1

KK_1 = \dfrac{3}{5} BD = 3\sqrt{2};

LL_1 = \dfrac{2}{5} BD = 2\sqrt{2}.

Следовательно,

S_{KK_1LL_1} = \dfrac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\dfrac{11}{2}} = \dfrac{5\sqrt{11}}{2}.

Таким образом,

V_{A_1KK_1LL_1} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \cdot \dfrac{8}{11}\sqrt{55} = \dfrac{20\sqrt{5}}{3}.

Ответ: б)

\dfrac{20\sqrt{5}}{3}

Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи