В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 5, а боковое ребро AA1 равно 5 . На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK=C1L=2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объём пирамиды, вершина которой —-- точка A1, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
Решение
а) Проведём прямые KK1 и LL1, параллельные прямой BD, где K1∈CD и L1∈B1C1, тогда KK1LL1 -- сечение призмы плоскостью γ.
Так как ABCD -- квадрат, то BD⊥AC как диагонали. Заметим, что AC --проекция наклонной A1C на плоскость основания ABCD, следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах A1C⊥BD⇒A1C⊥KK1,так как BD∥KK1.
Пусть W -- точка пересечения прямых AC и KK1, а W1 -- прямых A1C1 и LL1. По теореме Фалеса для пересекающихся прямых BC и CD и параллельных прямых KK1 и BD:KD1CK1=KBCK=23⇒CK1=3,KD1=2.Аналогично,CL1=2,LD1=3.Также по теореме Фалеса:W1O1C1W1=LD1C1L=32⇒C1W1=2x,W1O1=3x.WOCW=KBCK=23⇒CW=3x,WO=2x.Так как AC=A1C1=52, то 2x+3x+5x=52;x=22.Таким образом, C1W1=2⋅22=2;W1O1=3⋅22=232;CW=3⋅22=232;WO=2⋅22=2.Рассмотрим плоскость AA1C1C:
Проведём прямую, параллельную прямой WW1 и пересекающую прямую A1C1 в точке W2.WCW2W1 -- параллелограм, значитWC=W1W2=232и∠A1CW2=∠A1TW1(каксоответственные).ТакжеC1W2=W1W2−W1C1=232−2=22;A1W2=A1C1+C1W2=52+22=2112. По теореме Пифагора в △AA1C:A1C=AA12+AC2=5+50=55.По теореме Пифагора в △CC1W2:CW2=CC12+C1W22=5+21=211.По теореме, обратной теореме Пифагора, проверим:A1C2+CW22=A1W22;55+211=2121−верно.Следовательно, ∠A1CW2=90∘=∠A1TW1, то есть A1C⊥WW1.
Таким образом, A1C⊥BD и A1C⊥WW1, значитA1C⊥KK1LL1.Что и требовалось доказать. б) Треубется найти объём пирамиды A1KK1LL1:VA1KK1LL1=31⋅SKK1LL1⋅A1T,где A1T -- высота пирамиды, так как A1T⊥KK1LL1.
Вернёмся к плоскости AA1C1C из пункта а):
△A1OW∼△CWT (по двум углам): ∠A1TW1=∠CTW,∠A1W1T=∠TWC. ТогдаTCA1T=WCA1W1=38⇒A1T=118A1C=11855.Найдём SKK1LL1:
WW1 -- высота равнобедренной трапеции KK1LL1.KK1=53BD=32;LL1=52BD=22.Следовательно,SKK1LL1=232+22⋅211=2511.Таким образом,VA1KK1LL1=31⋅2511⋅11855=3205.Ответ: б) 3205.
