Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2024 (досрок)

В правильной четырехугольной призме

ABCDA_1B_1C_1D_1

плоскость

\alpha

выходит из вершины

B_1

D

, пересекает стороны

AA_1

CC_1

в точках

M

K

соответственно и является ромбом.

а) Докажите, что

M

— середина ребра

AA_1

.

б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна

3

, а площадь сечения равна

6

Решение

а) Так как

ABCDA_1B_1C_1D_1

— правильная призма, то

A_1B_1 = AD, \ \angle MA_1B_1 = \angle MAD = 90^\circ.

По условию,

B_1MDK

— ромб, то

MD=MB_1

, тогда

\triangle AMD = \triangle A_1MB_1

(по катету и гипотенузе), следовательно,

AM = MA_1

. Что и требовалось доказать.

б) Аналогично из

\triangle CDK = \triangle C_1KB_1 \Rightarrow CK=KC_1

. Так как

B_1MDK

— сечение призмы, а

ABCD

— проекция этого сечения, то по теореме об ортогональной проекции:

\cos \alpha = \dfrac{S_{ABCD}}{S_{B_1MDK}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ,

где

\alpha

— угол между этими плоскостями.

Пусть

l

— линия пересечения плоскостей

\alpha

ABCD

. В плоскости

ABCD

BD \perp AC

(как диагонали квадрата). В

MB_1KD

MK \perp B_1D

(как диагонали ромба). При этом

MK \parallel AC \parallel l

Значит,

BD \perp l~и~B_1D \perp l \Rightarrow \alpha = \angle B_1DB= 60^\circ.

Так как

ABCD

— квадрат, то

S_{ABCD} = AB^2=3 \Rightarrow AB = \sqrt{3}.

BD = AB\sqrt{2}= \sqrt{6}.

Тогда в прямоугольном треугольнике

BB_1D

BB_1 = BD\tg 60^\circ = \sqrt{6}\sqrt{3}=3\sqrt{2}.

Альтернативное решение пункта б:
Аналогично из

\triangle CDK = \triangle C_1KB_1 \Rightarrow CK=KC_1

. Значит,

MK \parallel AC

MK =AC = BD = AB\sqrt{2}

. По условию

S_{ABCD}= 3= AB^2 \Rightarrow AB = \sqrt{3},

тогда

MK =AC = BD =\sqrt{6}.

Также известно, что

S_{MB_1KD}=6

, тогда:

\dfrac{1}{2}MK \cdot B_1D =6;

\dfrac{1}{2}\sqrt{6} \cdot B_1D =6;

B_1D= \dfrac{12}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}.

По теореме Пифагора в

BB_1D

BB_1 = \sqrt{B_1D^2-BD^2}= \sqrt{24-6}=3\sqrt{2}.

Ответ:

3\sqrt{2}

Похожие задачи