В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 плоскость α выходит из вершины B1 и D, пересекает стороны AA1 и CC1 в точках M и K соответственно и является ромбом.
а) Докажите, что M -- середина ребра AA1.
б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.
Решение
а) Так как ABCDA1B1C1D1 --- правильная призма, то
A1B1=AD,∠MA1B1=∠MAD=90∘. По условию, B1MDK --- ромб, то MD=MB1, тогда △AMD=△A1MB1 (по катету и гипотенузе), следовательно, AM=MA1. Что и требовалось доказать.
б) Аналогично из △CDK=△C1KB1⇒CK=KC1. Так как B1MDK --- сечение призмы, а ABCD --- проекция этого сечения, то по теореме об ортогональной проекции:
cosα=SB1MDKSABCD=21⇒α=60∘, где α --- угол между этими плоскостями.
Пусть l --- линия пересечения плоскостей α и ABCD. В плоскости ABCD:BD⊥AC (как диагонали квадрата). В MB1KD:MK⊥B1D (как диагонали ромба). При этом MK∥AC∥l.
Значит,
BD⊥lиB1D⊥l⇒α=∠B1DB=60∘. Так как ABCD --- квадрат, то
SABCD=AB2=3⇒AB=3.BD=AB2=6. Тогда в прямоугольном треугольнике BB1D:BB1=BDtg60∘=63=32.
Альтернативное решение пункта б:
Аналогично из △CDK=△C1KB1⇒CK=KC1. Значит, MK∥AC и MK=AC=BD=AB2. По условию SABCD=3=AB2⇒AB=3, тогда
MK=AC=BD=6.
Также известно, что SMB1KD=6, тогда:
21MK⋅B1D=6; 216⋅B1D=6; B1D=612=26. По теореме Пифагора в BB1D:BB1=B1D2−BD2=24−6=32. Ответ: 32.
