В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM=2,CN=1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Решение
а) Объём призмы равен
Vпр=SABC⋅AA1=21⋅62⋅6=108. С другой стороны,
VB1A1C1NM=31SA1C1NM⋅h. A1C1 -- гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, поэтому A1C1=62.
A1C1NM -- прямоугольная трапеция, её площадь равна
Sтр=21⋅(4+5)⋅62=272.
h -- медиана и высота треугольника A1B1C1, следовательно, h=2A1C1=32.h⊥A1C1 и h⊥AA1, поэтому h⊥(AA1C1).
Итого, получаем:
VB1A1C1NM=31⋅272⋅32=54=21Vпр. Значит, вторая часть также равна 21Vпр и сечение разбивает объём призмы пополам.
б) Имеем:
VMNBB1=31SBB1N⋅ρ(M;(BB1C1)); Так как N∈CC1,BB1∥CC1, то ρ(N;BB1)=6. Значит,
SBB1N=21BB1⋅ρ(N;BB1)=21⋅6⋅6=18.
(ABB1)⊥(BB1C1), так как ∠ABB1=∠CBB1=90∘. Тогда
ρ(M;(BB1C1))=ρ(M;BB1)=6, так как M∈AA1,AA1∥BB1.
