Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2026 (резерв)

В основании треугольной призмы

ABCA_1B_1C_1

лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом

B

. Катеты и высота призмы равны

6

. На рёбрах

AA_1

CC_1

отмечены точки

M

N

соответственно, причём

AM = 2

CN = 1

.

а) Докажите, что плоскость

MNB_1

разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра

MNBB_1

Решение

а) Объём призмы равен

V_{\text{пр}} = S_{ABC}\cdot AA_1 = \dfrac{1}{2}\cdot 6^2\cdot 6 = 108.

С другой стороны,

V_{B_1A_1C_1NM} = \dfrac{1}{3}S_{A_1C_1NM}\cdot h.

A_1C_1

— гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, поэтому

A_1C_1 = 6\sqrt{2}

A_1C_1NM

— прямоугольная трапеция, её площадь равна

S_{\text{тр}} = \dfrac{1}{2}\cdot (4 + 5)\cdot 6\sqrt{2} = 27\sqrt{2}.

h

— медиана и высота треугольника

A_1B_1C_1

, следовательно,

h = \dfrac{A_1C_1}{2} = 3\sqrt{2}

h\perp A_1C_1

h\perp AA_1

, поэтому

h\perp (AA_1C_1)

Итого, получаем:

V_{B_1A_1C_1NM} = \dfrac{1}{3}\cdot 27\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} = 54 = \dfrac{1}{2}V_{\text{пр}}.

Значит, вторая часть также равна

\dfrac{1}{2}V_{\text{пр}}

и сечение разбивает объём призмы пополам.

б) Имеем:

V_{MNBB_1} = \dfrac{1}{3}S_{BB_1N}\cdot \rho(M; (BB_1C_1));

Так как

N \in CC_1

BB_1\parallel CC_1

, то

\rho(N; BB_1) = 6

. Значит,

S_{BB_1N} = \dfrac{1}{2}BB_1\cdot \rho(N; BB_1) = \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6 = 18.

(ABB_1) \perp (BB_1C_1)

, так как

\angle{ABB_1} = \angle{CBB_1} = 90^{\circ}

. Тогда

\rho(M; (BB_1C_1)) = \rho(M; BB_1) = 6,

так как

M \in AA_1

AA_1 \parallel BB_1

.

Таким образом,

V_{MNBB_1} = \dfrac{1}{3}\cdot 18\cdot 6 = 36.

Ответ:

36

Похожие задачи