Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD=5 и BC=4.M – точка, которая делит сторону A1D1 в отношении 1:4,K – середина DD1.
а) Докажите, что BD∥(MCK).
б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания, если ∠BAD=60∘, а ∠CKM=90∘.
Решение
Продолжим ребро AD за точку D и обозначим через T точку пересечения прямой MK с продолжением AD.
Так как призма прямая, то боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Значит,DD1⊥ADиDD1⊥A1D1.По условию A1M:MD1=1:4, а A1D1=AD=5, следовательно,A1M=1,MD1=4.Кроме того, K --- середина DD1, значит,DK=KD1.Рассмотрим прямоугольные треугольники △MD1K и △TDK. Для них DK=KD1, а также∠MKD1=∠TKDкак вертикальные углы.
Значит, прямоугольные треугольники △MD1K и △TDK равны по катету и острому углу.
Следовательно,MD1=DT=4.Так как DT лежит на прямой AD, а основания трапеции параллельны, тоDT∥BC.Но при этомDT=BC=4.Значит, четырёхугольник DTCB --- параллелограмм, поэтомуCT∥BD.Точка T лежит на прямой MK, значит, прямая CT лежит в плоскости (MCK). Следовательно, в плоскости (MCK) содержится прямая CT, параллельная прямой BD.
ПоэтомуBD∥(MCK).Что и требовалось доказать.
б) Так как трапеция ABCD равнобедренная, AD=5,BC=4, а ∠BAD=60∘, то проекции боковых сторон на основание равны2AD−BC=25−4=21.Следовательно,CD=AB=cos60∘1/2=1.Обозначим KD=x.
Кроме того, ∠CKM=90∘, значит, ∠CKT=90∘.
Теперь выразим стороны прямоугольного △CKT.
В прямоугольном треугольнике △KDT:KT=KD2+DT2=x2+16.В прямоугольном треугольнике △KDC:KC=KD2+DC2=x2+1.Так как трапеция ABCD равнобедренная, то углы при основании AD равны. Значит,∠CDA=∠BAD=60∘.Тогда ∠CDT=180∘−60∘=120∘, как смежный с углом ∠CDA. Теперь по теореме косинусовCT2=CD2+DT2−2⋅CD⋅DTcos120∘=12+42−2⋅1⋅4⋅(−21)=21.Значит,CT=21.Так как △CKT прямоугольный, по теореме Пифагора:KC2+KT2=CT2.Подставляем найденные выражения:(x2+1)+(x2+16)=21,2x2+17=21,2x2=4,x2=2,x=2.Следовательно,KD=2.Проведем DH --- высоту в прямоугольном △CDT, тогда DH⊥CT.
Так как KD перпендикулярно плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярахKH⊥CT.Значит, угол между плоскостью MKC и плоскостью основания равен углу∠KHD.Найдем tg∠KHD.
Зная x=2, получаемKT=x2+16=2+16=18,KC=x2+1=2+1=3.Также выше было найдено, чтоCT=21.Так как △CKT прямоугольный, а KH --- высота, проведенная к гипотенузе CT, тоKH=CTKC⋅KT=213⋅18=718.Теперь рассмотрим прямоугольный △KDH.
По теореме Пифагора:DH2=KH2−KD2.DH=718−2=718−714=74=72.Следовательно,tg∠KHD=DHKD=722=214.Ответ:r 214.
