С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него
сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 240? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 163? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 700 включительно?
Решение
Пусть исходное число N. Обозначим его цифры: a — сотни, b — десятки, c — единицы (a∈{1,…,9},b,c∈{0,…,9}. Тогда
N=abc=100a+10b+c. Сумма цифр числа N равна a+b+c. По условию, из числа вычитают сумму его цифр, а затем делят на 3. Результат операции обозначим через M: M=3N−(a+b+c)=3100a+10b+c−a−b−c=399a+9b=33a+3b. Таким образом, M=33a+3b, где a∈{1,…,9},b∈{0,…,9}
а) Проверим, может ли M=240: 33a+3b=240⇔11a+b=80. Подберем a,b и c такие, чтобы они удовлетворяли этому равенству. Пример: a=7,b=3,c -- любое, например, 730.
б) Проверим, может ли M=163: 33a+3b=163⇔3(11a+b)=163⇔11a+b=3163=5431. Левая часть 11a+b —- целое число (сумма целых), а правая часть дробная. Противоречие. Следовательно, равенство невозможно.
в) Исходные числа N лежат в промежутке от 100 до 700 включительно. Это означает, что цифра сотен a может принимать значения от 1 до 7, при этом b∈{0,…,9}.
Таким образом, для каждого a от 1 до 6 включительно b может быть любым от 0 до 9 — это даёт 10 вариантов для каждого a. При a=7 необходимо учесть ограничение N≤700. Так как N=700+10b+c≤700 возможно только при b=0 и c=0. Следовательно, для a=7 допустим только b=0. Получаем:
приa=1,…,6:6⋅10=60пар(a,b),приa=7:1пара(a=7,b=0). Итого 60+1=61 возможная пара (a,b), а значит, и 61 возможное значение M=33a+3b
Докажем, что все эти значения различны. Предположим противное: пусть существуют различные пары (a1,b1) и (a2,b2) с a1,a2∈{1,…7},b1,b2∈0,…,9, такие что
33a1+3b1=33a2+3b2. Разделим на 3:
11a1+b1=11a2+b2⇔11(a1−a2)=b2−b1.
Левая часть кратна 11. Правая часть по модулю не превосходит ∣b2−b1∣≤9. Единственное число, кратное 11 и не превосходящее по модулю 9, это 0. Значит, b2−b1=0 и 11(a2−a1)=0, откуда a1=a2 и b1=b2, что противоречит предположению о различии пар. Следовательно, все значения различны.
