Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чиселСтатГрад 19.12.2024

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него
сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на

3

.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число

240

?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число

163

?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от

100

до

700

включительно?

Решение

Пусть исходное число

N

. Обозначим его цифры:

a

— сотни,

b

— десятки,

c

— единицы (

a \in \{1, \dots, 9\}, \ b,c \in \{0, \dots, 9\}

. Тогда

N= \overline{abc} =100a+10b+c.

Сумма цифр числа

N

равна

a+b+c

. По условию, из числа вычитают сумму его цифр, а затем делят на

3

. Результат операции обозначим через

M

M = \dfrac{N - (a+b+c)}{3} = \dfrac{100a+10b+c - a -b-c}{3}=\dfrac{99a+9b}{3} = 33a+3b.

Таким образом,

M= 33a + 3b

, где

a \in \{1, \dots, 9\}, b \in \{0, \dots, 9\}

а) Проверим, может ли

M = 240

33a+3b = 240 \Leftrightarrow 11a+b = 80.

Подберем

a

b

c

такие, чтобы они удовлетворяли этому равенству. Пример:

a = 7, b = 3

c

-- любое, например,

730

.

б) Проверим, может ли

M = 163

33a+3b = 163 \Leftrightarrow 3(11a+b) = 163 \Leftrightarrow 11a+b = \dfrac{163}{3}= 54 \dfrac{1}{3}.

Левая часть

11a+b

—- целое число (сумма целых), а правая часть дробная. Противоречие. Следовательно, равенство невозможно.

в) Исходные числа

N

лежат в промежутке от

100

до

700

включительно. Это означает, что цифра сотен

a

может принимать значения от

1

до

7

, при этом

b \in \{0,\dots, 9 \}

.

Таким образом, для каждого

a

от

1

до

6

включительно

b

может быть любым от

0

до

9

— это даёт

10

вариантов для каждого

a

. При

a=7

необходимо учесть ограничение

N \leq 700

. Так как

N=700+10b+c \leq 700

возможно только при

b=0

c=0

. Следовательно, для

a=7

допустим только

b=0

. Получаем:

при \ a=1,…,6: \quad 6\cdot 10= 60 \ пар \ (a,b),\\при \ a=7: \quad 1 \ пара \ (a=7,b=0).

Итого

60+1=61

возможная пара

(a,b)

, а значит, и

61

возможное значение

M=33a+3b

Докажем, что все эти значения различны. Предположим противное: пусть существуют различные пары

(a_1,b_1)

(a_2, b_2)

a_1,a_2 \in \{ 1, \dots 7\}, \ b_1,b_2 \in {0, \dots, 9}

, такие что

33a_1+3b_1 = 33a_2+3b_2.

Разделим на 3:

11a_1 + b_1 = 11a_2 + b_2 \Leftrightarrow 11(a_1-a_2) = b_2-b_1.

Левая часть кратна 11. Правая часть по модулю не превосходит

|b_2-b_1| \leq 9

. Единственное число, кратное

11

и не превосходящее по модулю

9

, это

0

. Значит,

b_2-b_1 = 0

11(a_2-a_1) = 0

, откуда

a_1=a_2

b_1=b_2

, что противоречит предположению о различии пар. Следовательно, все значения различны.

Ответ: а) да; б) нет; в)

61

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи