Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыЕГЭ 2025 (пересдача)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{x+3a}\ln{(x-2a)}=\ln{(x-2a)}(x-1)

имеет ровно один корень на отрезке

[0 ; 1]

Решение

Преобразуем уравнение:

\sqrt{x+3a}\ln{(x-2a)}-\ln{(x-2a)}(x-1)=0;

\ln{(x-2a)}(\sqrt{x+3a}-(x-1))=0.

Полученное уравнение равносильно следующей совокупности:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} \ln(x-2a) = 0, \\ x+3a \geqslant 0, \end{cases} \ \qquad \qquad(1) \\ \begin{cases} \sqrt{x+3a} = x-1, \\ x-2a > 0. \end{cases} \ \quad (2)\end{gathered} \right. \quad

Рассмотрим уравнение системы (1):

\ln (x - 2a) = 0, \quad x - 2a = 1, \quad x = 2a + 1.

Подставим в неравенство системы, а также учтём, что

x\in [0;1]

\begin{cases} 0 \leqslant 2a + 1 \leqslant 1, \\ 2a + 1 + 3a \geqslant 0;\end{cases} \quad \begin{cases} -1 \leqslant 2a \leqslant 0, \\ 5a + 1 \geqslant 0;\end{cases} \quad\begin{cases} -\dfrac{1}{2} \leqslant a \leqslant 0, \\ a \geqslant -\dfrac{1}{5}.\end{cases}

$Изображение 1$

Значит,

a\in \left[-\dfrac{1}{5};0\right]

.
Рассмотрим уравнение системы (2):

\sqrt{x+3a} = x-1, \quad \begin{cases} x+3a = (x - 1)^2, \\ x \geqslant 1.\end{cases}

Заметим, что пересечением может быть только

x=1

, так как

x\in[0;1]

. Подставим в уравнение системы

x=1

1+3a = 0, \quad a = -\dfrac{1}{3}.

Рассмотрим совпадение корней. Корни совпадают при:

2a + 1 = 1, \quad 2a = 0, \quad a = 0 \neq -\dfrac{1}{3}.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:

$Изображение 2$

Получаем, что ровно одно решение будет при

a\in \left\{-\dfrac{1}{3}\right\} \cup \left[-\dfrac{1}{5};0\right]

.
Ответ:

a\in \left\{-\dfrac{1}{3}\right\} \cup \left[-\dfrac{1}{5};0\right]

Параметр с логарифмами — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи