Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x+3aln(x−2a)=ln(x−2a)(x−1) имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Решение
Преобразуем уравнение:
x+3aln(x−2a)−ln(x−2a)(x−1)=0; ln(x−2a)(x+3a−(x−1))=0. Полученное уравнение равносильно следующей совокупности:
{ln(x−2a)=0,x+3a⩾0,(1){x+3a=x−1,x−2a>0.(2) Рассмотрим уравнение системы (1):
ln(x−2a)=0,x−2a=1,x=2a+1. Подставим в неравенство системы, а также учтём, что x∈[0;1]: {0⩽2a+1⩽1,2a+1+3a⩾0;{−1⩽2a⩽0,5a+1⩾0;⎩⎨⎧−21⩽a⩽0,a⩾−51.
Значит, a∈[−51;0]. Рассмотрим уравнение системы (2):
x+3a=x−1,{x+3a=(x−1)2,x⩾1. Заметим, что пересечением может быть только x=1, так как x∈[0;1]. Подставим в уравнение системы x=1: 1+3a=0,a=−31. Рассмотрим совпадение корней. Корни совпадают при:
2a+1=1,2a=0,a=0=−31. Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:
Получаем, что ровно одно решение будет при a∈{−31}∪[−51;0]. Ответ: a∈{−31}∪[−51;0].
