Постройте график функции \[ y=2 - \dfrac{x -… — Задание 22 — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

Задание 22

Постройте график функции

y=2 - \dfrac{x - 5}{x^{2} - 5 x}.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

не имеет с графиком общих точек.

Ответ:

Решение

Функция определена при тех значениях

x

, при которых знаменатель не обращается в нуль. Получаем:

x\neq 0

x\neq 5

.

Преобразуем выражение, сокращая общий множитель:

y=\dfrac{2 x - 1}{x}=2 - \dfrac{1}{x}.

Таким образом, исходная функция представляет собой гиперболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки:

(5; 1{,}8)

.
Асимптоты:

x=0

(вертикальная),

y=2

(горизонтальная).

Таблица значений для

y=2 - \dfrac{1}{x}

(с учетом выколотой точки):

x

-4

-2

-1

1

2

4

5

y

2{,}25

2{,}5

3

1

1{,}5

1{,}75

1{,}8

График функции:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.12.3_main.svg

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Она не имеет общих точек с графиком, если совпадает с горизонтальной асимптотой или проходит через выколотую точку.
Следовательно,

m \in \{1{,}8\} \cup\{2\}

.

График для анализа значений параметра:

Рисунок решения ОГЭ 22: 22.12.3_param.svg