15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тыс. рублей на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:
--- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; --- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
--- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
--- к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 12-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1134 тыс. рублей?
Решение
Пусть x тыс. рублей --- сумма, на которую долг уменьшается каждого 15-го числа с 1-го по 12-й месяц.
Составим таблицу. Все суммы указаны в тыс. рублей.
В первых 12 строках выплаты каждый месяц уменьшаются на 0,03x, поэтому эти выплаты образуют арифметическую прогрессию. Первый член прогрессии равен x+27, последний равен 0,67x+27, всего членов 12.
Значит, сумма выплат за первые 12 месяцев равна2(x+27)+(0,67x+27)⋅12.В 13-й месяц выплачивается весь оставшийся долг вместе с процентами:900−12x+27−0,36x.По условию общая сумма выплат равна 1134, значит,2(x+27)+(0,67x+27)⋅12+900−12x+27−0,36x=1134.Упростим:21,67x+54⋅12+927−12,36x=1134,6(1,67x+54)+927−12,36x=1134,10,02x+324+927−12,36x=1134,1251−2,34x=1134,−2,34x=−117,x=50.Тогда долг на 15-е число 12-го месяца равен900−12x=900−12⋅50=300.Ответ: 300.
