Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника ABC, являются
общими внутренними касательными к окружностям. Прямая, содержащая гипотенузу AB, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины
острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра
треугольника ABC
б) Найдите площадь треугольника ABC, если радиусы окружностей равны 4 и 8.
Решение
а) Пусть окружность, вписанная в угол BAC, касается BC и продолжений AB и AC соответственно в точках E,F и D. Тогда
CE=CD,BE=BF, как отрезки касательных. Тогда
AD=AC+CD=AC+CE;AF=AB+BF=AB+BE.
Обозначим
p=2AB+AC+CE+BE. Заметим, что AD+AF=2p и AD=AF, поэтому AD=AF=p.
Пусть окружность, вписанная в угол CBA, касается AC и продолжений AB и AC соответственно в точка H,I и G. Тогда аналогично BG=BI=p.
б) Пусть O и Q -- центры окружностей, тогда CDOE и CHQG -- квадраты (∠C=90∘, радиусы перпендикулярны касательной, соседние стороны равны).
Имеем:
AD=BG=p,AC=p−4,BC=p−8. Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора получаем:
AB=AC2+BC2=(p−4)2+(p−8)2. Так как 2AB+AC+BC=p, то
p−4+p−8+(p−4)2+(p−8)2=2p;2p2−24p+80=12;2p2−24p−64=0;p2−12p−32=0;p=6±68. Так как p>0, то p=6+68. Значит,
AC=2+68,BC=68−2. Значит,
SABC=21(68−2)(68+2)=32.
