Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2022 (досрок)

При каких значениях параметра

a

система уравнений

\begin{cases}\dfrac{xy^2-2xy-4y+8}{\sqrt{4-y}}=0,\\y=ax\end{cases}

имеет

3

различных решения.

Решение

Первое уравнение имеет смысл при

4-y>0,

то есть

y<4.

При этом дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:

xy^2-2xy-4y+8=0.

Разложим левую часть на множители:

xy^2-2xy-4y+8=xy(y-2)-4(y-2)=(y-2)(xy-4).

Значит, первое уравнение задаёт совокупность

y=2\quad \text{или} \quadxy=4,

причём нужно учитывать условие

y<4.

Второе уравнение задаёт семейство прямых

y=ax,

проходящих через начало координат.

Найдём важные точки для рисунка.

Прямая

y=2

пересекает гиперболу

xy=4

в точке

2x=4,

откуда

x=2.

Получаем точку

A(2;2).

Также отметим граничную точку гиперболы при

y=4

4x=4,

откуда

x=1.

Получаем выколотую точку

B(1;4).

Изобразим прямую

y=2

, гиперболу

xy=4

с учётом ограничения

y<4

и прямые семейства

y=ax

Теперь посчитаем, при каких

a

прямая

y=ax

имеет ровно

3

общие точки с полученным графиком.

С прямой

y=2

прямая

y=ax

пересекается при

ax=2.

Если

a=0

, решений нет. Если

a\neq 0

, то пересечение одно:

x=\dfrac{2}{a}.

Теперь рассмотрим пересечения с гиперболой

xy=4

. Подставим

y=ax

x\cdot ax=4,

ax^2=4.

Если

a<0

, решений нет, так как левая часть

ax^2\leqslant 0

, а правая равна

4

.

Если

a=0

, решений с гиперболой тоже нет.

Если

a>0

, получаем два корня:

x=\pm\dfrac{2}{\sqrt a}.

Значит, прямая пересекает гиперболу в двух точках. Левая точка всегда подходит, потому что для неё

y<0<4

.

Правая точка подходит только тогда, когда она лежит ниже прямой

y=4

. Граница соответствует точке

B(1;4)

, то есть прямой

y=4x.

Значит, правая точка гиперболы входит в рассматриваемый график при

0 < a < 4.

Таким образом, при

0 < a < 4

прямая

y = ax

даёт две точки на гиперболе и одну точку на прямой

y = 2

.

Но при

a = 1

прямая проходит через точку

A(2; 2)

, которая одновременно лежит и на прямой

y = 2

, и на гиперболе

xy = 4

. Поэтому при

a = 1

получается не три различных решения, а только два.

Следовательно, ровно 3 различных решения получаются при

0 < a < 4, \quad a \neq 1.

То есть

a \in (0; 1) \cup (1; 4).

Ответ:

(0; 1) \cup (1; 4)

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи