При каких значениях параметра a система уравнений
⎩⎨⎧4−yxy2−2xy−4y+8=0,y=ax
Решение
Первое уравнение имеет смысл при
4−y>0, то есть
y<4. При этом дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:
xy2−2xy−4y+8=0.
Разложим левую часть на множители:
xy2−2xy−4y+8=xy(y−2)−4(y−2)=(y−2)(xy−4). Значит, первое уравнение задаёт совокупность
y=2илиxy=4, причём нужно учитывать условие
y<4.
Второе уравнение задаёт семейство прямых
y=ax, проходящих через начало координат.
Найдём важные точки для рисунка.
Прямая y=2 пересекает гиперболу xy=4 в точке
2x=4, откуда
x=2. Получаем точку
A(2;2).
Также отметим граничную точку гиперболы при y=4:4x=4, откуда
x=1. Получаем выколотую точку
B(1;4).
Изобразим прямую y=2, гиперболу xy=4 с учётом ограничения y<4 и прямые семейства y=ax.
Теперь посчитаем, при каких a прямая y=ax имеет ровно 3 общие точки с полученным графиком.
С прямой y=2 прямая y=ax пересекается при
ax=2. Если a=0, решений нет. Если a=0, то пересечение одно:
x=a2.
Теперь рассмотрим пересечения с гиперболой xy=4. Подставим y=ax:x⋅ax=4,ax2=4.
Если a<0, решений нет, так как левая часть ax2⩽0, а правая равна 4.
Если a=0, решений с гиперболой тоже нет.
Если a>0, получаем два корня:
x=±a2. Значит, прямая пересекает гиперболу в двух точках. Левая точка всегда подходит, потому что для неё y<0<4.
Правая точка подходит только тогда, когда она лежит ниже прямой y=4. Граница соответствует точке B(1;4), то есть прямой
y=4x. Значит, правая точка гиперболы входит в рассматриваемый график при
0<a<4.
Таким образом, при 0<a<4 прямая y=ax даёт две точки на гиперболе и одну точку на прямой y=2.
Но при a=1 прямая проходит через точку A(2;2), которая одновременно лежит и на прямой y=2, и на гиперболе xy=4. Поэтому при a=1 получается не три различных решения, а только два.
Следовательно, ровно 3 различных решения получаются при
0<a<4,a=1.
