При каких значениях параметра a система уравнений⎩⎨⎧4−yxy2−2xy−4y+8=0,y=ax
Решение
Первое уравнение имеет смысл при4−y>0,то естьy<4.При этом дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:xy2−2xy−4y+8=0.Разложим левую часть на множители:xy2−2xy−4y+8=xy(y−2)−4(y−2)=(y−2)(xy−4).Значит, первое уравнение задаёт совокупностьy=2илиxy=4,причём нужно учитывать условиеy<4.Второе уравнение задаёт семейство прямыхy=ax,проходящих через начало координат.
Найдём важные точки для рисунка.
Прямая y=2 пересекает гиперболу xy=4 в точке2x=4,откудаx=2.Получаем точкуA(2;2).Также отметим граничную точку гиперболы при y=4:4x=4,откудаx=1.Получаем выколотую точкуB(1;4).Изобразим прямую y=2, гиперболу xy=4 с учётом ограничения y<4 и прямые семейства y=ax.
Теперь посчитаем, при каких a прямая y=ax имеет ровно 3 общие точки с полученным графиком.
С прямой y=2 прямая y=ax пересекается приax=2.Если a=0, решений нет. Если a=0, то пересечение одно:x=a2.Теперь рассмотрим пересечения с гиперболой xy=4. Подставим y=ax:x⋅ax=4,ax2=4.Если a<0, решений нет, так как левая часть ax2⩽0, а правая равна 4.
Если a=0, решений с гиперболой тоже нет.
Если a>0, получаем два корня:x=±a2.Значит, прямая пересекает гиперболу в двух точках. Левая точка всегда подходит, потому что для неё y<0<4.
Правая точка подходит только тогда, когда она лежит ниже прямой y=4. Граница соответствует точке B(1;4), то есть прямойy=4x.Значит, правая точка гиперболы входит в рассматриваемый график при0<a<4.Таким образом, при 0<a<4 прямая y=ax даёт две точки на гиперболе и одну точку на прямой y=2.
Но при a=1 прямая проходит через точку A(2;2), которая одновременно лежит и на прямой y=2, и на гиперболе xy=4. Поэтому при a=1 получается не три различных решения, а только два.
Следовательно, ровно 3 различных решения получаются при0<a<4,a=1.То естьa∈(0;1)∪(1;4).Ответ: (0;1)∪(1;4).
