Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (Основная волна)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(x - 2)a^2 - (x^3 - x^2 - 4)a + x^4 - 4x^2 = 0

имеет ровно

2

решения.

Решение

Упростим уравнение, разложив на множители выражение

x^3 - x^2 -4

. Заметим, что при

x = 2

оно обращается в ноль, значит:

x^2(x-2) + x(x-2) + 2(x-2) = (x-2)(x^2 + x + 2).

Тогда уравнение примет вид:

(x - 2)a^2 - (x-2)(x^2 + x + 2)a + x^4 - 4x^2 = 0;

(x - 2)a^2 - (x-2)(x^2 + x + 2)a + x^2(x^2 - 4) = 0;

(x - 2)a^2 - (x-2)(x^2 + x + 2)a + x^2(x + 2)(x - 2) = 0;

(x - 2)(a^2 - (x^2 + x + 2)a + x^2(x + 2)) = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, получаем, что уравнение

a^2 - (x^2 + x + 2)a + x^2(x + 2) = 0

имеет следующие корни:

a_1 = x^2, \quad a_2 = x+2.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[\begin{aligned} &x = 2, \\ &a = x^2, \\ &a = x + 2.\end{aligned}\right.

Будем решать задачу графически в системе

Oxa

:

1. Уравнение

x=2

задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение

a=x^2

задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в

(0;0)

.
3. Уравнение

a=x+2

задаёт прямую с коэффициентом угла наклона, равным 1.

Найдём точку пересечения прямых

a=x+2

x=2

a=2+2 = 4.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(2; 4)

.
Найдём точку пересечения

a=x^2

x=2

a=2^2 = 4.

Получаем, что точка пересечения имеет координаты

(2; 4)

.
Найдём точку пересечения

a=x^2

a=x+2

x^2=x+2, \quad x^2 - x - 2=0, \quad (x+1)(x-2) = 0.

Получаем, что точки пересечения имеют координаты:

(-1; 1)

(2;4)

.

Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения
с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решенийя.

Положение I: прямая проходит через точку

(0;0)

, тогда

a = 0

.

Положение II: прямая проходит через точку

(2;4)

, тогда

a = 4

. \par \medskip
Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые ниже I, не включая I, а также положению II.
Значит,

a\in(-\infty; 0) \cup\{4\}

.

Ответ:

a\in(-\infty; 0) \cup\{4\}

Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи