Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(x−2)a2−(x3−x2−4)a+x4−4x2=0 имеет ровно 2 решения.
Решение
Упростим уравнение, разложив на множители выражение x3−x2−4. Заметим, что при x=2 оно обращается в ноль, значит:
x2(x−2)+x(x−2)+2(x−2)=(x−2)(x2+x+2). Тогда уравнение примет вид:
(x−2)a2−(x−2)(x2+x+2)a+x4−4x2=0;(x−2)a2−(x−2)(x2+x+2)a+x2(x2−4)=0;(x−2)a2−(x−2)(x2+x+2)a+x2(x+2)(x−2)=0;(x−2)(a2−(x2+x+2)a+x2(x+2))=0. По теореме, обратной теореме Виета, получаем, что уравнение a2−(x2+x+2)a+x2(x+2)=0 имеет следующие корни:
a1=x2,a2=x+2. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:
x=2,a=x2,a=x+2. Будем решать задачу графически в системе Oxa:
1. Уравнение x=2 задаёт вертикальную прямую.
2. Уравнение a=x2 задаёт параболу с ветвями вверх и вершиной в (0;0). 3. Уравнение a=x+2 задаёт прямую с коэффициентом угла наклона, равным 1.
Найдём точку пересечения прямых a=x+2 и x=2:a=2+2=4. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (2;4). Найдём точку пересечения a=x2 и x=2:a=22=4. Получаем, что точка пересечения имеет координаты (2;4). Найдём точку пересечения a=x2 и a=x+2:x2=x+2,x2−x−2=0,(x+1)(x−2)=0. Получаем, что точки пересечения имеют координаты: (−1;1) и (2;4).
Запустим горизонтальную считывающую прямую, число точек её пересечения
с построенным графиком соответствует числу решений исходного уравнения. Отметим на рисунке несколько интересных положений прямой и подпишем количество решенийя.
Положение I: прямая проходит через точку (0;0), тогда a=0.
Положение II: прямая проходит через точку (2;4), тогда a=4. \par \medskip
Нам подходит два решения, что соответствует всем положениям, которые ниже I, не включая I, а также положению II.
Значит, a∈(−∞;0)∪{4}.
