Рациональные уравнения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задачи с прикладным содержанием

ФИПИ

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется
собирающая линза с фокусным расстоянием

f

30

см. Расстояние

d_1

от линзы до лампочки
может изменяться в пределах от

20

см до

40

см, а расстояние

d_2

от линзы до экрана — в пределах от

160

см до

180

см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}=\dfrac{1}{f}

. На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:

Решение

1. Записываем формулу линзы

Условие чёткого изображения:

\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.

Подставляем

f = 30

см:

\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{30}.

2. Выражаем

d_2

\frac{1}{d_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_1}.

\frac{1}{d_2} = \frac{d_1 - 30}{30d_1}.

d_2 = \frac{30d_1}{d_1 - 30}.

3. Учитываем ограничения

По условию

d_2

должно находиться в пределах от 160 до 180 см:

160 \leq \frac{30d_1}{d_1 - 30} \leq 180.

Также

d_1

находится в пределах от 20 до 40 см. При этом

d_1 > 30

, иначе знаменатель

d_1 - 30

становится неположительным, что не имеет физического смысла.

4. Решаем неравенство

Рассмотрим левую часть:

\frac{30d_1}{d_1 - 30} \geq 160.

Умножаем на

d_1 - 30 > 0

30d_1 \geq 160(d_1 - 30).

30d_1 \geq 160d_1 - 4800.

4800 \geq 130d_1.

d_1 \leq \frac{4800}{130} \approx 36,92.

Рассмотрим правую часть:

\frac{30d_1}{d_1 - 30} \leq 180.

Умножаем на

d_1 - 30 > 0

30d_1 \leq 180(d_1 - 30).

30d_1 \leq 180d_1 - 5400.

5400 \leq 150d_1.

d_1 \geq \frac{5400}{150} = 36.

5. Находим наименьшее

d_1

Из неравенств:

36 \leq d_1 \leq 36,92.

Наименьшее возможное значение:

d_1 = 36.

6. Вывод

\boxed{36}

Похожие задачи