Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваЕГЭ 2023 (основа)

Решите неравенство

\dfrac{\log_3(3-x)-\log_3(x+2)}{\log_3^2(x^2)+\log_3(x^4)+1}\geqslant 0.

Решение

Преобразуем знаменатель:

\log_3(x^4)=\log_3\bigl((x^2)^2\bigr)=2\log_3(x^2).

Тогда

\log_3^2(x^2)+\log_3(x^4)+1=\log_3^2(x^2)+2\log_3(x^2)+1=\bigl(\log_3(x^2)+1\bigr)^2.

Значит, неравенство принимает вид

\dfrac{\log_3(3-x)-\log_3(x+2)}{\bigl(\log_3(x^2)+1\bigr)^2}\geqslant 0.

Теперь выпишем область допустимых значений.

Нужно, чтобы были определены логарифмы в числителе и знаменателе:

\begin{cases}3-x>0,\\x+2>0,\\x^2>0,\\\log_3(x^2)+1\neq 0.\end{cases}

Получаем:

x<3,\qquad x>-2,\qquad x\neq 0.

Кроме того,

\log_3(x^2)+1\neq 0\Longleftrightarrow\log_3(x^2)\neq -1\Longleftrightarrowx^2\neq \dfrac13\Longleftrightarrowx\neq \pm\dfrac{1}{\sqrt3}.

Значит, ОДЗ:

x\in(-2;3),\qquad x\neq 0,\qquad x\neq \pm\dfrac{1}{\sqrt3}.

Так как знаменатель есть квадрат, то на ОДЗ он всегда положителен. Значит, знак дроби определяется только числителем:

\log_3(3-x)-\log_3(x+2)\geqslant 0.

Тогда

\log_3(3-x)\geqslant \log_3(x+2).

Так как основание логарифма

3>1

, функция

\log_3 t

возрастает, значит,

3-x\geqslant x+2.

Отсюда

1\geqslant 2x,

x\leqslant \dfrac12.

Изобразим это на числовой прямой с учетом ОДЗ:

Получаем:

x\in\left(-2;-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right].

Ответ:

\left(-2;-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right]

Похожие задачи