Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2023
Скопировать ссылку
6c7f636f
Решите неравенство
log
3
(
3
−
x
)
−
log
3
(
x
+
2
)
log
3
2
(
x
2
)
+
log
3
(
x
4
)
+
1
⩾
0.
\dfrac{\log_3(3-x)-\log_3(x+2)}{\log_3^2(x^2)+\log_3(x^4)+1}\geqslant 0.
lo
g
3
2
(
x
2
)
+
lo
g
3
(
x
4
)
+
1
lo
g
3
(
3
−
x
)
−
lo
g
3
(
x
+
2
)
⩾
0.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Преобразуем знаменатель:
log
3
(
x
4
)
=
log
3
(
(
x
2
)
2
)
=
2
log
3
(
x
2
)
.
\log_3(x^4)=\log_3\bigl((x^2)^2\bigr)=2\log_3(x^2).
lo
g
3
(
x
4
)
=
lo
g
3
(
(
x
2
)
2
)
=
2
lo
g
3
(
x
2
)
.
Тогда
log
3
2
(
x
2
)
+
log
3
(
x
4
)
+
1
=
log
3
2
(
x
2
)
+
2
log
3
(
x
2
)
+
1
=
(
log
3
(
x
2
)
+
1
)
2
.
\log_3^2(x^2)+\log_3(x^4)+1
=\log_3^2(x^2)+2\log_3(x^2)+1
=\bigl(\log_3(x^2)+1\bigr)^2.
lo
g
3
2
(
x
2
)
+
lo
g
3
(
x
4
)
+
1
=
lo
g
3
2
(
x
2
)
+
2
lo
g
3
(
x
2
)
+
1
=
(
lo
g
3
(
x
2
)
+
1
)
2
.
Значит, неравенство принимает вид
log
3
(
3
−
x
)
−
log
3
(
x
+
2
)
(
log
3
(
x
2
)
+
1
)
2
⩾
0.
\dfrac{\log_3(3-x)-\log_3(x+2)}{\bigl(\log_3(x^2)+1\bigr)^2}\geqslant 0.
(
lo
g
3
(
x
2
)
+
1
)
2
lo
g
3
(
3
−
x
)
−
lo
g
3
(
x
+
2
)
⩾
0.
Теперь выпишем область допустимых значений.
Нужно, чтобы были определены логарифмы в числителе и знаменателе:
{
3
−
x
>
0
,
x
+
2
>
0
,
x
2
>
0
,
log
3
(
x
2
)
+
1
≠
0.
\begin{cases}
3-x>0,\\
x+2>0,\\
x^2>0,\\
\log_3(x^2)+1\neq 0.
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
3
−
x
>
0
,
x
+
2
>
0
,
x
2
>
0
,
lo
g
3
(
x
2
)
+
1
=
0.
Получаем:
x
<
3
,
x
>
−
2
,
x
≠
0.
x<3,\qquad x>-2,\qquad x\neq 0.
x
<
3
,
x
>
−
2
,
x
=
0.
Кроме того,
log
3
(
x
2
)
+
1
≠
0
⟺
log
3
(
x
2
)
≠
−
1
⟺
x
2
≠
1
3
⟺
x
≠
±
1
3
.
\log_3(x^2)+1\neq 0
\Longleftrightarrow
\log_3(x^2)\neq -1
\Longleftrightarrow
x^2\neq \dfrac13
\Longleftrightarrow
x\neq \pm\dfrac{1}{\sqrt3}.
lo
g
3
(
x
2
)
+
1
=
0
⟺
lo
g
3
(
x
2
)
=
−
1
⟺
x
2
=
3
1
⟺
x
=
±
3
1
.
Значит, ОДЗ:
x
∈
(
−
2
;
3
)
,
x
≠
0
,
x
≠
±
1
3
.
x\in(-2;3),\qquad x\neq 0,\qquad x\neq \pm\dfrac{1}{\sqrt3}.
x
∈
(
−
2
;
3
)
,
x
=
0
,
x
=
±
3
1
.
Так как знаменатель есть квадрат, то на ОДЗ он всегда положителен. Значит, знак дроби определяется только числителем:
log
3
(
3
−
x
)
−
log
3
(
x
+
2
)
⩾
0.
\log_3(3-x)-\log_3(x+2)\geqslant 0.
lo
g
3
(
3
−
x
)
−
lo
g
3
(
x
+
2
)
⩾
0.
Тогда
log
3
(
3
−
x
)
⩾
log
3
(
x
+
2
)
.
\log_3(3-x)\geqslant \log_3(x+2).
lo
g
3
(
3
−
x
)
⩾
lo
g
3
(
x
+
2
)
.
Так как основание логарифма
3
>
1
3>1
3
>
1
,
функция
log
3
t
\log_3 t
lo
g
3
t
возрастает, значит,
3
−
x
⩾
x
+
2.
3-x\geqslant x+2.
3
−
x
⩾
x
+
2.
Отсюда
1
⩾
2
x
,
1\geqslant 2x,
1
⩾
2
x
,
x
⩽
1
2
.
x\leqslant \dfrac12.
x
⩽
2
1
.
Изобразим это на числовой прямой с учетом ОДЗ:
Получаем:
x
∈
(
−
2
;
−
1
3
)
∪
(
−
1
3
;
0
)
∪
(
0
;
1
2
]
.
x\in\left(-2;-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right].
x
∈
(
−
2
;
−
3
1
)
∪
(
−
3
1
;
0
)
∪
(
0
;
2
1
]
.
Ответ:
(
−
2
;
−
1
3
)
∪
(
−
1
3
;
0
)
∪
(
0
;
1
2
]
\left(-2;-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right]
(
−
2
;
−
3
1
)
∪
(
−
3
1
;
0
)
∪
(
0
;
2
1
]
.
