Для существования всех логарифмов нужно, чтобы⎩⎨⎧x+3>0,x2+6x+9>0,x+2>0.Так какx2+6x+9=(x+3)2,то из условия x+3>0 уже следует, что (x+3)2>0.
Значит, ОДЗ:x>−2.Теперь преобразуем первый множитель.
Так какlog0,25(x+3)=log41(x+3)=−log4(x+3),тоlog0,252(x+3)=(−log4(x+3))2=log42(x+3).Кроме того, на ОДЗ имеем x+3>0, значит,log4(x2+6x+9)=log4((x+3)2)=2log4(x+3).Поэтому первый множитель равенlog42(x+3)−2log4(x+3)+1.Это полный квадрат:log42(x+3)−2log4(x+3)+1=(log4(x+3)−1)2.Тогда исходное неравенство принимает вид(log4(x+3)−1)2⋅log4(x+2)⩽0.Первый множитель есть квадрат, значит, он неотрицателен:(log4(x+3)−1)2⩾0.Он обращается в ноль, когдаlog4(x+3)−1=0,log4(x+3)=1,x+3=4,x=1.Так как квадрат не меняет знак, знак произведения определяется знаком множителя log4(x+2), кроме точки x=1, где квадрат равен нулю.
Решим неравенствоlog4(x+2)⩽0.Так как основание логарифма 4>1, получаем:0<x+2≤1.Отсюда−2<x≤−1.Кроме того, нужно добавить точку, в которой квадрат равен нулю:x=1.Следовательно,x∈(−2;−1]∪{1}.Ответ: (−2;−1]∪{1}.
