Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Неравенства
ЕГЭ 2023
Скопировать ссылку
68c94ca7
Решите неравенство
(
log
0,25
2
(
x
+
3
)
−
log
4
(
x
2
+
6
x
+
9
)
+
1
)
⋅
log
4
(
x
+
2
)
⩽
0.
\bigl(\log_{0{,}25}^2(x+3)-\log_4(x^2+6x+9)+1\bigr)\cdot \log_4(x+2)\leqslant 0.
(
lo
g
0
,
25
2
(
x
+
3
)
−
lo
g
4
(
x
2
+
6
x
+
9
)
+
1
)
⋅
lo
g
4
(
x
+
2
)
⩽
0.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Найдем область допустимых значений.
Для существования всех логарифмов нужно, чтобы
{
x
+
3
>
0
,
x
2
+
6
x
+
9
>
0
,
x
+
2
>
0.
\begin{cases}
x+3>0,\\
x^2+6x+9>0,\\
x+2>0.
\end{cases}
⎩
⎨
⎧
x
+
3
>
0
,
x
2
+
6
x
+
9
>
0
,
x
+
2
>
0.
Так как
x
2
+
6
x
+
9
=
(
x
+
3
)
2
,
x^2+6x+9=(x+3)^2,
x
2
+
6
x
+
9
=
(
x
+
3
)
2
,
то из условия
x
+
3
>
0
x+3>0
x
+
3
>
0
уже следует, что
(
x
+
3
)
2
>
0
(x+3)^2>0
(
x
+
3
)
2
>
0
.
Значит, ОДЗ:
x
>
−
2.
x>-2.
x
>
−
2.
Теперь преобразуем первый множитель.
Так как
log
0,25
(
x
+
3
)
=
log
1
4
(
x
+
3
)
=
−
log
4
(
x
+
3
)
,
\log_{0{,}25}(x+3)=\log_{\frac14}(x+3)=-\log_4(x+3),
lo
g
0
,
25
(
x
+
3
)
=
lo
g
4
1
(
x
+
3
)
=
−
lo
g
4
(
x
+
3
)
,
то
log
0,25
2
(
x
+
3
)
=
(
−
log
4
(
x
+
3
)
)
2
=
log
4
2
(
x
+
3
)
.
\log_{0{,}25}^2(x+3)=\bigl(-\log_4(x+3)\bigr)^2=\log_4^2(x+3).
lo
g
0
,
25
2
(
x
+
3
)
=
(
−
lo
g
4
(
x
+
3
)
)
2
=
lo
g
4
2
(
x
+
3
)
.
Кроме того, на ОДЗ имеем
x
+
3
>
0
x+3>0
x
+
3
>
0
,
значит,
log
4
(
x
2
+
6
x
+
9
)
=
log
4
(
(
x
+
3
)
2
)
=
2
log
4
(
x
+
3
)
.
\log_4(x^2+6x+9)=\log_4\bigl((x+3)^2\bigr)=2\log_4(x+3).
lo
g
4
(
x
2
+
6
x
+
9
)
=
lo
g
4
(
(
x
+
3
)
2
)
=
2
lo
g
4
(
x
+
3
)
.
Поэтому первый множитель равен
log
4
2
(
x
+
3
)
−
2
log
4
(
x
+
3
)
+
1.
\log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1.
lo
g
4
2
(
x
+
3
)
−
2
lo
g
4
(
x
+
3
)
+
1.
Это полный квадрат:
log
4
2
(
x
+
3
)
−
2
log
4
(
x
+
3
)
+
1
=
(
log
4
(
x
+
3
)
−
1
)
2
.
\log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1=\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2.
lo
g
4
2
(
x
+
3
)
−
2
lo
g
4
(
x
+
3
)
+
1
=
(
lo
g
4
(
x
+
3
)
−
1
)
2
.
Тогда исходное неравенство принимает вид
(
log
4
(
x
+
3
)
−
1
)
2
⋅
log
4
(
x
+
2
)
⩽
0.
\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2\cdot \log_4(x+2)\leqslant 0.
(
lo
g
4
(
x
+
3
)
−
1
)
2
⋅
lo
g
4
(
x
+
2
)
⩽
0.
Первый множитель есть квадрат, значит, он неотрицателен:
(
log
4
(
x
+
3
)
−
1
)
2
⩾
0.
\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2\geqslant 0.
(
lo
g
4
(
x
+
3
)
−
1
)
2
⩾
0.
Он обращается в ноль, когда
log
4
(
x
+
3
)
−
1
=
0
,
\log_4(x+3)-1=0,
lo
g
4
(
x
+
3
)
−
1
=
0
,
log
4
(
x
+
3
)
=
1
,
\log_4(x+3)=1,
lo
g
4
(
x
+
3
)
=
1
,
x
+
3
=
4
,
x+3=4,
x
+
3
=
4
,
x
=
1.
x=1.
x
=
1.
Так как квадрат не меняет знак, знак произведения определяется знаком множителя
log
4
(
x
+
2
)
\log_4(x+2)
lo
g
4
(
x
+
2
)
,
кроме точки
x
=
1
x=1
x
=
1
,
где квадрат равен нулю.
Решим неравенство
log
4
(
x
+
2
)
⩽
0.
\log_4(x+2)\leqslant 0.
lo
g
4
(
x
+
2
)
⩽
0.
Так как основание логарифма
4
>
1
4 > 1
4
>
1
,
получаем:
0
<
x
+
2
≤
1.
0 < x + 2 \leq 1.
0
<
x
+
2
≤
1.
Отсюда
−
2
<
x
≤
−
1.
-2 < x \leq -1.
−
2
<
x
≤
−
1.
Кроме того, нужно добавить точку, в которой квадрат равен нулю:
x
=
1.
x = 1.
x
=
1.
Следовательно,
x
∈
(
−
2
;
−
1
]
∪
{
1
}
.
x \in (-2; -1] \cup \{1\}.
x
∈
(
−
2
;
−
1
]
∪
{
1
}
.
Ответ:
(
−
2
;
−
1
]
∪
{
1
}
(-2; -1] \cup \{1\}
(
−
2
;
−
1
]
∪
{
1
}
.
