Дан остроугольный треугольник ABC. В нём высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠BAH=∠BB1C1.
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до BC, если C1B1=18, а ∠BAC=30∘.
Решение
а) Заметим, что ∠AC1H=∠C1B1H=90∘, следовательно, вокруг C1AB1H можно описать окружность. Таким образом, вписанные углы C1AH и C1B1H опираются на дугу HC1, значит
Что и требовалось доказать.
б) Докажем факты, связанные с ортоцентром --- точкой пересечения высот треугольника.
Факт № 1.
Пусть дан остроугольный треугольник ABC с высотами AHA,BHBиCHC, которые пересекаются в точке H.O --- центр описанной окружности треугольника ABC.
Проведём диаметр AA1, тогда ∠ACA1=∠ABA1=90∘ как вписанные углы, опирающиеся на диаметр.
Заметим, что CHC∥A1B, так как CHC⊥AB и A1B⊥AB, аналогчино, BHB∥A1C. Следователььно, четырехугольник A1BHC --- параллелограмм, точка M --- точка пересечения диагоналей A1H и BC.
Таким образом, OM — средняя линия △AA1H, значит
OM∥AHиOM=21AH.
Факт № 2.
Пусть в треугольнике ABC проведены высоты BHB и CHC. Тогда вокруг четырехугольника BHCHBC можно описать окружность, так как равны углы, опирающиеся на одну сторону четырехугольника (∠BHCC=∠BHBC=90∘). Пусть ∠HCBC=α, тогда из вписанности четырехугольника следует, что ∠HCHBC=180∘−α, значит
∠AHBHC=180∘−∠HCHBC=α. Таким образом, △AHBHC∼△ABC по двум углам с коэффициентом подобия, равным
ABAHB=ACAHC=cosβ.
Перейдем к решению пункта б)
Пусть OM --- расстояние от точки O до стороны BC.
Тогда из доказанного ранее факта № 1 следует, что OM=21AH. При этом AH --- диаметр окружности с радиусом R вокруг четырехугольника AB1HC1, значит
OM=21AM=R. По теореме синусов в △AB1C1: R=2sin∠C1AB1B1C1=18. Таким образом, OM=R=18.
Альтернативное решение пункта б:
Из доказанного ранее факта № 2 следует, что
BCB1C1=cos30∘⇒BC=cos30∘B1C1. Проведем радиусы описанной окружности BO и OC, тогда ∠BOC=2∠BAC=60∘.
Получаем, что в равнобедренном треугольнике BOC угол BOC=60∘, следовательно, △BOC --- равнобедренный, значит
OM=23BC=23⋅cos30∘B1C1=18.
