Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2024 (досрок)

Дан остроугольный треугольник

ABC

. В нём высоты

BB_1

CC_1

пересекаются в точке

H

.

а) Докажите, что

\angle BAH=\angle BB_1C_1

.

б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до

BC

, если

C_1B_1=18

, а

{\angle BAC =30^{\circ}}

Решение

а) Заметим, что

\angle AC_1H = \angle C_1B_1H = 90^\circ

, следовательно, вокруг

C_1AB_1H

можно описать окружность. Таким образом, вписанные углы

C_1AH

C_1B_1H

опираются на дугу

HC_1

, значит

Что и требовалось доказать.

б) Докажем факты, связанные с ортоцентром — точкой пересечения высот треугольника.

Факт № 1.

Пусть дан остроугольный треугольник

ABC

с высотами

AH_A, \, BH_B \, и \, CH_C

, которые пересекаются в точке

H

O

— центр описанной окружности треугольника

ABC

.

Проведём диаметр

AA_1

, тогда

\angle ACA_1 = \angle ABA_1= 90^\circ

как вписанные углы, опирающиеся на диаметр.
Заметим, что

CH_C \parallel A_1B

, так как

CH_C \perp AB

A_1B \perp AB

, аналогчино,

BH_B \parallel A_1C

. Следователььно, четырехугольник

A_1BHC

— параллелограмм, точка

M

— точка пересечения диагоналей

A_1H

BC

.

Таким образом,

OM

— средняя линия

\triangle AA_1H

, значит

OM \parallel AH и OM = \dfrac{1}{2}AH.

Факт № 2.

Пусть в треугольнике

ABC

проведены высоты

BH_B

CH_C

. Тогда вокруг четырехугольника

BH_CH_BC

можно описать окружность, так как равны углы, опирающиеся на одну сторону четырехугольника (

\angle BH_CC = \angle BH_BC = 90^\circ

). Пусть

\angle H_CBC = \alpha

, тогда из вписанности четырехугольника следует, что

\angle H_CH_BC = 180^\circ - \alpha

, значит

\angle AH_BH_C = 180^\circ - \angle H_CH_BC= \alpha.

Таким образом,

\triangle AH_BH_C \sim \triangle ABC

по двум углам с коэффициентом подобия, равным

\dfrac{AH_B}{AB} = \dfrac{AH_C}{AC}=\cos \beta.

Перейдем к решению пункта б)

Пусть

OM

— расстояние от точки

O

до стороны

BC

Тогда из доказанного ранее факта № 1 следует, что

OM = \dfrac{1}{2}AH.

При этом

AH

— диаметр окружности с радиусом

R

вокруг четырехугольника

AB_1HC_1

, значит

OM = \dfrac{1}{2}AM = R.

По теореме синусов в

\triangle AB_1C_1

R = \dfrac{B_1C_1}{2\sin \angle C_1AB_1} = 18.

Таким образом,

OM = R = 18.

Альтернативное решение пункта б:

Из доказанного ранее факта № 2 следует, что

\dfrac{B_1C_1}{BC}= \cos 30^\circ \Rightarrow BC = \dfrac{B_1C_1}{\cos 30^\circ}.

Проведем радиусы описанной окружности

BO

OC

, тогда

\angle BOC = 2\angle BAC = 60^\circ

Получаем, что в равнобедренном треугольнике

BOC

угол

BOC = 60^\circ

, следовательно,

\triangle BOC

— равнобедренный, значит

OM = \dfrac{\sqrt{3}}{2}BC = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{B_1C_1}{\cos 30^\circ} = 18.

Ответ:

18

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи