Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{(x^{2}+6{,}25)(x-1)}{1-x}.

Определите, при каких значениях

k

прямая

y=kx

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Функция определена при

x\neq 1

.

Вынесем минус за скобки в знаменателе и сократим одинаковые множители

(x-1)

y=\dfrac{(x^{2}+6{,}25)(x-1)}{1-x}=\dfrac{(x^{2}+6{,}25)(x-1)}{-(x-1)}=-\dfrac{(x^{2}+6{,}25)(x-1)}{(x-1)}=-(x^{2}+6{,}25)=- x^{2} - 6{,}25, \qquad x\neq 1.

Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотой точкой.

Найдём координаты выколотой точки. Подставим

x=1

в упрощённую формулу:

y(1)=-(1)^2-6{,}25=-7{,}25.

Следовательно, выколотая точка:

(1; -7{,}25)

.

Для параболы

y=- x^{2} - 6{,}25

имеем

a=-1

b=0

c=-6{,}25

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{0}{2\cdot(-1)}=0.

y_0=-1\cdot(0)^2+0\cdot(0)-6{,}25=-6{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(0; -6{,}25)

.

Таблица значений для

y=- x^{2} - 6{,}25

(с учетом выколотых точек):

График функции:

Чтобы график функции имел одну общую точку с прямой

y=kx

, нужно, чтобы прямая проходила через выколотую точку. Подставим координаты выколотой точки

(1; -7{,}25)

в уравнение прямой и найдём коэффициент

k

-7{,}25=k\cdot 1;

k=-7{,}25.

Кроме этого, прямая

y=kx

имеет с параболой ровно одну общую точку, если она касается параболы. Найдём такие значения

k

- x^{2} - 6{,}25=kx;

- k x - x^{2} - 6{,}25=0.

Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

D=k^{2} - 25=0;

k=-5\quad\text{или}\quad k=5.

Таким образом, ровно одна общая точка получается в случае прохождения через выколотую точку и в случаях касания параболы.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

k \in \{-7{,}25\} \cup \{-5\} \cup\{5\}

Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи