Постройте график функции y=1−xx3−1−xx2+4−4x25x−4−4x25. Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ:
Решение
Функция определена при x=1.
Преобразуем выражение, сокращая общий множитель: y=−44x2+25=−x2−425,x=1. Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотой точкой.
Найдём координаты выколотой точки: (1;−7,25).
Вершина параболы y=−x2−425:(0;−6,25).
Таблица значений для y=−x2−425 (с учетом выколотых точек):
Прямая y=kx проходит через начало координат. Исследуем количество общих точек этой прямой с графиком функции.
Подберём k таким образом, чтобы график y=kx проходил через выколотую точку (1;−7,25). −7,25=k⋅1; k=−7,25. Кроме этого, прямая y=kx имеет с параболой ровно одну общую точку, если она касается параболы. Найдём такие значения k. −x2−425=kx; −kx−x2−425=0. Для касания дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю: D=k2−25=0; k=−5илиk=5. Таким образом, ровно одна общая точка получается в случае прохождения через выколотую точку и в случаях касания параболы. Следовательно, k∈{−7,25}∪{−5}∪{5}.
