Дан тетраэдр ABCD. Точки K,L,M и N лежат на ребрах AC,AD,DB и BC соответственно, так, что четырехугольник КLMN квадрат со стороной 2.
AK:KC=2:3.
a) Докажите, что BM:MD=2:3.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KLMN, если объем тетраэдра равен 25.
Решение
а) По условию KLMN --- квадрат, тогда KN∥ML, при этом KN лежит в плоскости ABC и LM в плоскости ABD, следовательно, KN∥ABD. Заметим, что AB --- линия пересечения плоскостей ABC и ABD, следовательно, KN∥AB∥ML.
Аналогично, KL∥CD∥MN. Таким образом по теореме о пропорциональных отрезках для KL∥CD: KCAK=LDAL=32. Аналогично, для LM∥AB: LADL=MBDM=23. Что и требовалось доказать.
б) Проведём DH⊥AB. Из пункта а) KL⊥LM⇒AB⊥CD. Получаем, что AB⊥DH и AB⊥CD, следовательно, AB⊥CHD и AB⊥CD. Заметим, что
VABCD=VACDH+VBCHD=31⋅SCHD⋅AH+31⋅SCHD⋅BH=31SCHD⋅(AH+BH)=31SCHD⋅AB. Проведём в треугольнике CHD высоту HO, тогда
SCHD=21⋅HO⋅CD; VABCD=31⋅21⋅HO⋅CD⋅AB=61⋅HO⋅CD⋅AB. △DLM∼△DAB по двум углам: ∠D --- общий, ∠DLM=∠DAB (как соотвественные), значит
ABLM=DADL=53⇒AB=35LM=310. Аналогично из подобия △ALK и △ACD: CDKL=ACAK=52⇒CD=25KL=5. Таким образом,
VABCD=61⋅HO⋅CD⋅AB=61⋅HO⋅5⋅310=25; 925HO=25;HO=9. Заметим, что AB⊥OH, так как OH лежит в плоскости DCH и AB∥KN, следовательно, OH⊥KN. Кроме того, OH⊥CD и CD∥KL, следовательно, OH⊥KL. Значит, OH⊥KLMN.
Пусть плоскость KLMN пересекает отрезки DH и CH в точках T и W соответственно.
По теореме о пропорциональных отрезках LM∥AB и KN∥AB получаем:
THDT=MBDM=23=FHOF. Пусть CQ --- искомое расстояние от точки C до плоскости KLMN, тогда
